Всесиб 2023

Первое решение (счетное).

Давайте будет пользоваться свойством биссектрисы:

Тогда:

Теперь подставим это в

Домножим на знаменатели:

Тогда из теоремы косинусов для треугольника следует, что Отсюда получаем ответ.
Второе решение (более идейное).

Отметим точку на отрезке такую что Тогда из условия следует, что Заметим, что треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Аналогично равны треугольники Из этого следует:

Теперь воспользуемся тем, что

Тогда по теореме о сумме углов:

Возведём в квадрат каждое из двух уравнений:

Сложим эти уравнения, используя Получим:

Первое решение.

Если тройка является решением, то решениями являются . В силу этой цикличности системы мы можем не умаляя общности считать наибольшим.

Вычтем из первого уравнения второе и третье:

Если то поэтому должно достигаться равенство

Если то поэтому должно достигаться равенство

Таким образом, система может иметь решение только при При подстановке в любое из уравнений системы получаем

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Заметим, что в любой тройке, являющейся решением, все переменные одного знака: они либо все неотрицательны, либо все неположительны. Это следует из того, что нечётная степень числа имеет тот же знак, что и само число. Действительно, среди переменных две имеют одинаковый знак, тогда правая часть уравнения, содержащего эти переменные, имеет тот же знак, значит и левая часть, а с ней и третья переменная имеют тот же знак. Кроме того, если одна из переменных равна то левая часть соответствующего уравнения равна значит сумма двух чисел одного знака в правой части тоже равна поэтому каждое из этих чисел равно

Внесём эту тройку в ответ. Тогда дальше можно считать, что все переменные не равны При умножении решения системы на снова получаем решение, следовательно, дальше можно считать, что а потом внести в ответ тройку с противоположными знаками.

Сложим все три уравнения и перенесем правую часть в левую:

Теперь рассмотрим функцию Нетрудно понять, что при значении функции отрицательно, а при положительно, а также при оно равно Отсюда следует, что все переменные не могут быть одновременно больше или одновременно меньше Так как иначе ведь в левой части стоит сумма трёх чисел одного знака, поэтому они все должны равняться откуда следует, что при этом

Итак, остались два случая, и

Если тогда — это не решение.

Если — это тоже не решение.

Таким образом доказано, что других решений, кроме уже найденных, нет.

Пусть первый член прогрессии равен а разность равна Тогда из условия По условию ый член последовательности делится на (кроме последнего), тогда получим:

Значит, делится на все числа от до Пусть не является степенью простого числа, тогда где и не имеют общих делителей. Тогда

Значит, так как то То есть последний член делится на Противоречие.

Пример. Пусть Вася выберет какую-то карточку и задаст вопросов, в каждом из которых он спросит про и одну из карточек, отличных от Общее количество чисел, не соседних с числом, написанным на не превосходит если на написано или и если на написаны числа от до Тогда либо в одном из ответов будет дан положительный ответ, и Вася нашёл нужную пару соседних чисел, либо все эти карточки содержат числа, не соседние с числом на Следовательно, оставшаяся карточка содержит число, соседнее с числом на Таким образом, Васе достаточно вопросов.

Оценка. Докажем, что, если Вася задаст всего любых вопросов, он может не найти ни одной пары карточек с соседними числами. Предположим противное, что задав некоторые вопросов он смог точно указать на пару карточек с соседними числами. Переведём задачу на язык теории графов. Карточки будем считать вершинами графа а заданные Васей вопросы – рёбрами (синими рёбрами), соединяющими соответствующие пары карточек. К этим рёбрам нужно добавить ещё одно, соответствующее той паре карточек, на которых написана пара соседних, по версии Васи, чисел. Теперь нужно доказать, что вершины могут быть занумерованы в таком порядке, что ни одно ребро не соединяет две вершины с соседними номерами. То есть, нужно дорисовать в графе путь из рёбер, проходящий последовательно по всем вершинам, и не содержащих ни одного из «Васиного» синего ребра. Это будет означать, что Васина догадка не верна. Назовём такой путь красным и будем строить его методом математической индукции по числу вершин графа

Предположим, что в любом графе с числом вершин в котором проведено не больше синих рёбер, существует красный путь по всем вершинам, не содержащий синих рёбер. Построим красный путь в

1) Пусть в есть «крайняя» вершина из которой выходит ровно одно ребро В графе полученном из удалением вершины и ребра число вершин равно а рёбер – не больше выполнено предположение индукции, поэтому в можно построить красный путь длины с началом в вершине и концом в вершине Тогда ребро не соединяет вершину с одной из или проведя красное ребро из в эту вершину, получим красный путь длины в

2) Пусть в нет вершин, из которых выходит ровно одно ребро. В таком случае все синие рёбра инцидентны в сумме вершинам степени не меньше каждая, следовательно, среди них не больше различных. Следовательно, в не меньше двух вершин из которых не выходит ни одного синего ребра. Удалим из вершины и два ребра, выходящие из некоторой четвёртой вершины (но не саму вершину). Полученный граф снова удовлетворяет предположению индукции и в нём можно построить красный путь длины с началом в вершине и концом в вершине Если он не проходит через или проходит, но не проходит через удалённые рёбра, соединим с и с и получим красный путь в длины 99. В оставшихся случаях, обозначим за и вторые концы удалённых рёбер. Если красный путь в проходит через заменим этот фрагмент на Если он проходит только через одно удалённое ребро, скажем, через заменим его на В обоих случаях получится красный путь в

База индукции - случаи графов с 3 и 4 вершинами - очевидна.