Росатом 2023

Пусть за столом стояло стульев (т.е. за столом сидело всего человек). На круге точками отмечены стулья. Числом рядом с точкой обозначено количество стульев, разделяющих Петю и человека, сидящего на этом стуле.

Тогда число стульев, посчитанных Петей, включая Васю, равно

Обозначим число стульев, вычисленное для Васи. Тогда

Учитывая, что , , , получим единственное натуральное решение двойного неравенства: . Тогда число стульев за столом равно , а количество стульев, разделяющих Петю и Васю,

Выполним равносильные преобразования в исходном уравнении:

Сумма неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю. Тогда

Учитывая ограниченность синуса, имеем

Далее находим пересечение серий

Окончательно получаем

Заметим, что левая часть уравнения имеет смысл при Выполним преобразование в левой части:

Следовательно, монотонно убывает с ростом , а значит, рассматриваемое уравнение имеет не более одного решения. Учитывая, что , имеем равносильное исходному уравнение . Тогда получим

Покажем, что найденное число является целым (натуральным). Имеем по биному Ньютона

отсюда

Запишем ОДЗ: . Заметим, что на ОДЗ выполнено, что , .

Умножая правую и левую части исходного уравнения на и учитывая, что , получим равносильное уравнение

(1)

Далее, умножая правую и левую части исходного уравнения на , получим также равносильное уравнение (ниже поменяли местами левую и правую части)

(2)

Вычитая из уравнения (2) уравнение (1), получаем:

Общее число равнозначных исходов расстановоки фигур есть выбор произвольных клеток из имеющихся , т.е. оно равно .

Благоприятный исход может в двух случаях: три одинаковые фигуры находятся на одной линии и одна не на этой линии, либо четыре одинаковых фигуры на одной линии. Тогда число благоприятных исходов для одной линии (горизонтали, вертикали или главной диагонали) равно . Всего имеется 18 различных линий (горизонталей, вертикалей и главных диагоналей). Итого число благоприятных исходов равно .

Искомая вероятность есть отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

Построим сечение. Поскольку секущая плоскость параллельна ребру , она пересечет плоскость по прямой , параллельной , а плоскость — по прямой , также параллельной . Соединим точки и , лежащие в одной плоскости, и точки и , лежащие в одной плоскости, получим — искомое сечение.

Пусть — объем пирамиды, — сумма объемов пирамид и и .

Из подобия пар треугольников и и из условия задачи получим, что

Отсюда следует, что

где — высота, опущенная из вершины пирамиды , — высота, опушенная из вершины пирамиды .

А также значит, что площадь основания пирамиды равна:

Тем самым:

Аналогично из подобия пар треугольников и и из условия задачи получим, что

Отсюда следует, что

где — высота, опущенная из вершины пирамиды , — высота, опущенная из вершины пирамиды .

А также значит, что площадь основания пирамиды равна:

Тем самым:

Теперь можно записать, что

Уравнение эквивалентно системе

В итоге получаем

Введем переменную . Тогда уравнение принимает вид

Решая квадратное уравнение, находим . С учетом неотрицательности , выбираем . В итоге получаем уравнение для нахождения

Решим это уравнение

Тогда, с учетом неотрицательности , находим . Осталось проверить условие

Неравенство верно, значит, оба корня подходят.

Областью определения функций, входящих в исходное уравнение, являются значения , при которых

Положим и . Тогда, по формулам перехода от одного основания логарифма к другому имеем

Далее, аналогично, и . После этого исходное уравнение запишется так:

Перенося все члены из левой части уравнения в правую и выполняя стандартные преобразования, получаем

Поэтому решениями преобразованного уравнения являются все значения и , удовлетворяющие хотя бы одному из равенств , или , или при условии (это относится только к первым двум равенствам) .

Возвращаясь к исходному уравнению отсюда следует, что с учётом области определения, его решениями являются решения совокупности

Эта совокупность на области определения эквивалентна совокупности уравнений

Рассмотрим первое уравнение совокупности:

Это уравнение на области определения решений не имеет.

Рассмотрим второе уравнение совокупности:

Решения уравнения в область определения не входят. Решениями уравнения являются — целое, т.е. . При кратном такие принадлежат области определения, при остальных значениях - нет.

Рассмотрим третье уравнение совокупности:

Решения уравнения в область определения не входят. Если , то , поэтому решения уравнения в область определения также не входят.

Прямые и параллельны, поэтому углы и равны (обозначены на рисунке цифрой 2 ), аналогично равны углы и (обозначены на рисунке цифрой 3). Отсюда следует подобие треугольников и с коэффициентом подобия 4 и равенство углов и (обозначены на рисунке цифрой 1). Заметим, что .

Покажем, что треугольник подобен треугольникам и , вершины треугольников перечислены в порядке соответствия. Углы и , полученные при пересечении прямой параллельными прямыми и , равны как внутренние накрест лежащие. Сумма углов и равна , как сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника. Значит, угол и треугольник подобен треугольникам и .

Положим и , тогда и . Треугольники и подобны с коэффициентом подобия , и стороны и треугольника соответствуют сторонам и треугольника , поэтому . Значит, и, треугольники и подобны с коэффициентом подобия 2. Следовательно, сторона в два раза длиннее стороны , т.е. длина стороны равна 2.

Пусть тогда следовательно, по теореме Безу,   делится на и на Таким образом, имеет место представление

— некоторый многочлен с целыми коэффициентами. Тогда

Поскольку получаем Например, это минимум реализуется при

Замечание. На самом деле в качестве можно взять любой многочлен с целыми коэффициентами, такой что