Тема Иннополис (Innopolis Open)

Иннополис - задания по годам → .03 Иннополис 2017

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела иннополис (innopolis open)

Разделы подтемы Иннополис - задания по годам

Иннополис 2015 и ранее

Иннополис 2016

Иннополис 2017

Иннополис 2018

Иннополис 2019

Иннополис 2020

Иннополис 2021

Иннополис 2022

Иннополис 2023

Иннополис 2024

Иннополис 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#41247

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

∘ -----2--- ( 6x− x − 4 +a− 2)((a− 2)x − 3a+ 4)=0

имеет два различных действительных корня.

Показать ответ и решение

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а второй при этом не теряет смысла.

Первая скобка равна нулю, если

∘ --------- 2 2 2 2 6x− x2 − 4= 2− a ⇐⇒ 2− a≥ 0 и 6x − x − 4= (a − 2) ⇐⇒ (x − 3) +(a− 2)= 5 и a≤ 2

Вторая скобка равна нулю, если $a(x− 3)− 2(x − 2)= 0 ⇐⇒ a= -2-+ 2. x−3$ Переход с делением равносильный, так как $x= 3$ не обращает уравнение в тождество.

Первое уравнение задает полуокружность с центром в точке $(3;2)$ , а второе - гиперболу с двумя асимптотами $x =3$ и $y = 2$ (см. рисунок ниже). К тому же не стоит забывать про ОДЗ: $2 √- √- 6x − x − 4≥ 0=⇒ x∈ [3 − 5;3+ 5]$ .

$PIC$

В итоге получаем, что исходное уравнение имеет ровно два решения тогда и только тогда, когда прямая $y = a$ пересекает полуокружность и гиперболу ровно в двух точках в полосе $- - 3− √5≤ x≤ 3+ √5$ . Из графика видно, что возможны три случая: прямая касается полуокружности (то есть проходит через точку $D )$ ; прямая проходит через одну из точек пересечения полуокружности с гиперболой (то есть через точку $A$ или $B)$ ; прямая лежит строго выше прямой проходящей через точку $C$ и не строго ниже прямой $y =2$ . Рассмотрим все эти три случая I) Найдем ординату точки $D$ :

y = 2− ∘6x-− x2−-4= 2− ∘6⋅3−-32−-4= 2− √5.

II) Найдем ординату точек $A$ и $B$ :

( |{ (x− 3)2+ (y− 2)2 = 5, { (y− 2)4− 5(y − 2)2+ 4=0, | (x− 3)(y− 2)= 2, =⇒ y ≤2 ( y ≤ 2

Раскладываем первое уравнение на множители или решаем как биквадратное

{ (y− 4)y(y− 3)(y − 1)= 0, =⇒ y = 0 или y = 1. y ≤ 2

III) Найдем ординату точки $C$ : $√- (x − 3)(y − 2)= 2=⇒ ((3 − 5)− 3)(y− 2)=2 =⇒$ $2 =⇒ y =2 −√5-$ . Итак, получаем такие значения параметра

√ - ( 2 ] a∈ {2 − 5} ∪{0}∪{1}∪ 2− √-;2 . 5

Ответ:

${2− √5}∪ {0}∪ {1} ∪(2− √2;2] 5$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#90107

Какое наименьшее количество клеток доски $3×2016$ можно закрасить так, чтобы у каждой клетки была соседняя по стороне закрашенная клетка?

Показать ответ и решение

Для начала заметим, что если у нас есть какая-то закрашенная клетка, то сама по себе она не является соседней по стороне.Значит, одна из четырех (или меньшего количества) клеток тоже должна быть закрашена. Получается, у каждой клетки должна быть закрашена соседняя по стороне клетка, в том числе и у закрашенных.

Оценка. Давайте рассмотрим пары отмеченных клеток:

$PIC$

Заметим, что чтобы для каждой из пар клеток выполнялось условие, хотя бы две из пяти клеток (соседних 3 или сами 2 рассматриваемые клетки) должны быть закрашены. Причём области, где могут находиться закрашенные клетки с каждой из пар отмеченных клеток не пересекаются. Значит, наименьшее количество клеток, которые можно закрасить, чтобы выполнялось условие - 2016.

Пример. Закрасим центральную строку:

$PIC$

Тогда у каждой клетки найдётся соседняя по стороне закрашенная клетка.

Ответ: 2016

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущая подтема

Следующая подтема