Тема Иннополис (Innopolis Open)

Иннополис - задания по годам → .03 Иннополис 2017

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела иннополис (innopolis open)

Разделы подтемы Иннополис - задания по годам

Иннополис 2015 и ранее

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#41247Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

∘ -----2--- ( 6x− x − 4 +a− 2)((a− 2)x − 3a+ 4)=0

имеет два различных действительных корня.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Раз произведение двух множителей равно нулю, то хотя бы один из них равен нулю. Но обязательно не забываем, что если один из них равен нулю, то другой должен иметь смысл!! Что получаем после равносильных преобразований?

Подсказка 2

Теперь эту задачу можно изобразить в плоскости xOa! Получатся полуокружность и гипербола. Но не забываем про ОДЗ, оно задаёт полосу, в которой мы будем искать решения! Когда же будет ровно два решения?

Подсказка 3

Когда прямая касается полуокружности, либо когда она проходит через одну из точек пересечения полуокружности с гиперболой, либо же когда она будет пересекать только полуокружность в двух точках, а точка пересечения с гиперболой будет вне полосы!

Показать ответ и решение

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а второй при этом не теряет смысла.

Первая скобка равна нулю, если

∘ --------- 2 2 2 2 6x− x2 − 4= 2− a ⇐⇒ 2− a≥ 0 и 6x − x − 4= (a − 2) ⇐⇒ (x − 3) +(a− 2)= 5 и a≤ 2

Вторая скобка равна нулю, если $a(x− 3)− 2(x − 2)= 0 ⇐⇒ a= -2-+ 2. x−3$ Переход с делением равносильный, так как $x= 3$ не обращает уравнение в тождество.

Первое уравнение задает полуокружность с центром в точке $(3;2)$ , а второе - гиперболу с двумя асимптотами $x =3$ и $y = 2$ (см. рисунок ниже). К тому же не стоит забывать про ОДЗ: $2 √- √- 6x − x − 4≥ 0=⇒ x∈ [3 − 5;3+ 5]$ .

$PIC$

В итоге получаем, что исходное уравнение имеет ровно два решения тогда и только тогда, когда прямая $y = a$ пересекает полуокружность и гиперболу ровно в двух точках в полосе $- - 3− √5≤ x≤ 3+ √5$ . Из графика видно, что возможны три случая: прямая касается полуокружности (то есть проходит через точку $D )$ ; прямая проходит через одну из точек пересечения полуокружности с гиперболой (то есть через точку $A$ или $B)$ ; прямая лежит строго выше прямой проходящей через точку $C$ и не строго ниже прямой $y =2$ . Рассмотрим все эти три случая I) Найдем ординату точки $D$ :

y = 2− ∘6x-− x2−-4= 2− ∘6⋅3−-32−-4= 2− √5.

II) Найдем ординату точек $A$ и $B$ :

( |{ (x− 3)2+ (y− 2)2 = 5, { (y− 2)4− 5(y − 2)2+ 4=0, | (x− 3)(y− 2)= 2, =⇒ y ≤2 ( y ≤ 2

Раскладываем первое уравнение на множители или решаем как биквадратное

{ (y− 4)y(y− 3)(y − 1)= 0, =⇒ y = 0 или y = 1. y ≤ 2

III) Найдем ординату точки $C$ : $√- (x − 3)(y − 2)= 2=⇒ ((3 − 5)− 3)(y− 2)=2 =⇒$ $2 =⇒ y =2 −√5-$ . Итак, получаем такие значения параметра

√ - ( 2 ] a∈ {2 − 5} ∪{0}∪{1}∪ 2− √-;2 . 5

Ответ:

${2− √5}∪ {0}∪ {1} ∪(2− √2;2] 5$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#90107Максимум баллов за задание: 7

Какое наименьшее количество клеток доски $3×2016$ можно закрасить так, чтобы у каждой клетки была соседняя по стороне закрашенная клетка?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так как закрашенная клетка сама себе не сосед, то у любой закрашенной есть рядом (соседняя по стороне) ещё одна закрашенная. В подобных задачах делать оценку сразу по всей доске тяжеловато, потому что само условие на клетки только для соседних. Если оценить в общем не получается, какой способ тогда можно применить?

Подсказка 2

Разбейте доску на некоторые структуры так, чтобы для каждой структуры в отдельности мы тоже могли сделать оценку. Выйдет удобнее, если конструкции не будут пересекаться. У клеток в центральной строке слишком много соседей, за ними следить сложнее. Давайте попробуем поизучать верхнюю строку.

Подсказка 3

Рассмотрим две соседние клетки в верхней (не умаляя общности) строке. Орбитой множества клеток назовём все соседние клетки с ними, исключая само это множество. Подумайте, какое минимальное количество закрашенных клеток есть среди двух соседних клеток верхней строки и их орбиты, пока что забыв, что есть другие закрашенные клетки?

Подсказка 4

Осознайте, что всегда закрашены хотя бы 2 клетки. То есть в конкретной структуре (две соседние клетки в верхней или нижней строке вместе с орбитой) есть хотя бы 2 закрашенных. Тогда, если поместить на доску k непересекающихся структур, получим, что закрашенных хотя бы 2k. Разместите эти структуры самым "тесным" образом. Какая оценка у вас получилась?

Подсказка 5

Получается, что закрашенных клеток хотя бы 2016. Осталось построить пример на такое количество клеток.

Подсказка 6

Уверены, с этим Вы справитесь самостоятельно, но скажем, что центральной строке тоже стоит уделить внимание!

Показать ответ и решение

Для начала заметим, что если у нас есть какая-то закрашенная клетка, то сама по себе она не является соседней по стороне.Значит, одна из четырех (или меньшего количества) клеток тоже должна быть закрашена. Получается, у каждой клетки должна быть закрашена соседняя по стороне клетка, в том числе и у закрашенных.

Оценка. Давайте рассмотрим пары отмеченных клеток:

$PIC$

Заметим, что чтобы для каждой из пар клеток выполнялось условие, хотя бы две из пяти клеток (соседних 3 или сами 2 рассматриваемые клетки) должны быть закрашены. Причём области, где могут находиться закрашенные клетки с каждой из пар отмеченных клеток не пересекаются. Значит, наименьшее количество клеток, которые можно закрасить, чтобы выполнялось условие - 2016.

Пример. Закрасим центральную строку:

$PIC$

Тогда у каждой клетки найдётся соседняя по стороне закрашенная клетка.

Ответ: 2016

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущая подтема

Следующая подтема