Иннополис - задания по годам → .03 Иннополис 2017
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра 
, при каждом из которых уравнение
имеет два различных действительных корня.
Подсказка 1
Раз произведение двух множителей равно нулю, то хотя бы один из них равен нулю. Но обязательно не забываем, что если один из них равен нулю, то другой должен иметь смысл!! Что получаем после равносильных преобразований?
Подсказка 2
Теперь эту задачу можно изобразить в плоскости xOa! Получатся полуокружность и гипербола. Но не забываем про ОДЗ, оно задаёт полосу, в которой мы будем искать решения! Когда же будет ровно два решения?
Подсказка 3
Когда прямая касается полуокружности, либо когда она проходит через одну из точек пересечения полуокружности с гиперболой, либо же когда она будет пересекать только полуокружность в двух точках, а точка пересечения с гиперболой будет вне полосы!
Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а второй при этом не теряет смысла.
Первая скобка равна нулю, если
Вторая скобка равна нулю, если 
Переход с делением равносильный, так как 
не
обращает уравнение в тождество.
Первое уравнение задает полуокружность с центром в точке 
, а второе - гиперболу с двумя асимптотами 
и 
(см.
рисунок ниже). К тому же не стоит забывать про ОДЗ: ![2 √- √-
6x − x − 4≥ 0=⇒ x∈ [3 − 5;3+ 5]](/api/latex-service/v1/GetSession/79250/index-d18b82000df05f41e515c5e07b65a4f5.svg)
.
.png)
В итоге получаем, что исходное уравнение имеет ровно два решения тогда и только тогда, когда прямая 
пересекает
полуокружность и гиперболу ровно в двух точках в полосе 
. Из графика видно, что возможны три случая: прямая
касается полуокружности (то есть проходит через точку 
; прямая проходит через одну из точек пересечения полуокружности с
гиперболой (то есть через точку 
или 
; прямая лежит строго выше прямой проходящей через точку 
и не строго ниже прямой
. Рассмотрим все эти три случая I) Найдем ординату точки 
:
II) Найдем ординату точек 
и 
:
Раскладываем первое уравнение на множители или решаем как биквадратное
III) Найдем ординату точки 
: 
. Итак, получаем такие значения
параметра
![√ - ( 2 ]
a∈ {2 − 5} ∪{0}∪{1}∪ 2− √-;2 .
5](/api/latex-service/v1/GetSession/79250/index-1c194731e0f06c50e1fccd53f25756a5.svg)
![{2− √5}∪ {0}∪ {1} ∪(2− √2;2]
5](/api/latex-service/v1/GetSession/79251/index-a7b2235cccf06e4f32460f341331c4ff.svg)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Какое наименьшее количество клеток доски 
можно закрасить так, чтобы у каждой клетки была соседняя по стороне закрашенная
клетка?
Для начала заметим, что если у нас есть какая-то закрашенная клетка, то сама по себе она не является соседней по стороне.Значит, одна из четырех (или меньшего количества) клеток тоже должна быть закрашена. Получается, у каждой клетки должна быть закрашена соседняя по стороне клетка, в том числе и у закрашенных.
Оценка. Давайте рассмотрим пары отмеченных клеток:
Заметим, что чтобы для каждой из пар клеток выполнялось условие, хотя бы две из пяти клеток (соседних 3 или сами 2 рассматриваемые клетки) должны быть закрашены. Причём области, где могут находиться закрашенные клетки с каждой из пар отмеченных клеток не пересекаются. Значит, наименьшее количество клеток, которые можно закрасить, чтобы выполнялось условие - 2016.
Пример. Закрасим центральную строку:
Тогда у каждой клетки найдётся соседняя по стороне закрашенная клетка.
