Формула единства - задания по годам → .07 Формула единства 2025

Пусть — величина приза, — величина штрафа (по модулю), — количество вариантов ответа. Тогда из условия следует система

После преобразований получаем

Вычитая из второго уравнения первое и из третьего уравнения второе, получаем:

Приведем подобные слагаемые в скобках левых частей и разделим первое уравнение на второе

Тогда Изначально у кати было как минимум возможных варианта ответа, поэтому Тогда уравнение можно разделить на Имеем откуда Подставим это в уравнения системы и получим

Мы оставили только два уравнения, поскольку число неизвестных уменьшилось на Из этой системы следует, что

тогда Следовательно,

Легко проверить, что число

подходит. Действительно, при записи задом наперед оно равно

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание. Покажем, как можно было бы придумать такое число на олимпиаде. Обозначим это число где — первые три и последние три числа в его записи. На месте многоточие стоят какие-то цифры.

Тогда Значит, так как — результат умножения натурального числа с первой цифрой, не меньшей на так как иначе при умножении на в числе увеличится количество знаков. Тогда Помимо того, делится на значит, четно, поэтому Также кончается на при Так как то

Далее из равенства по цифре можно однозначно определить цифру которая к тому же должна быть нечетная и меньше Получаются варианты и из которых подходит только второй.

Аналогичным образом пытаясь найти и получаем два возможных варианта: и Развивая второй вариант, можно понять, что все числа вида подходят.

Перенесем вправо и получим

Домножим на два и переставим слагаемые

Добавим к обеим частям и разделим оба квадрата на два слагаемых:

Выделим полные квадраты!

Так как и — целые, каждое из слагамых в левой части является целым неотрицательным числом. Тогда их сумма может быть равна только если одно из слагамых равно а два других равны

Разберем случаи, когда два слагаемых равны В случае получаем — подходит. Если то — тоже подходит. Наконец, при получаем оно тоже подходит.

Отрежем от каждой вершины тетраэдра по маленькому тетраэдру с ребром вдвое меньшим, чем у исходного. У каждого маленького тетраэдра объём в 8 раз меньше, чем у исходного, а площадь поверхности — только в 4 раза, поэтому экономичность каждого из них равна В середине останется октаэдр, у которого и объём, и площадь поверхности вдвое меньше, чем у исходного тетраэдра, поэтому его экономичность равна Действительно, поверхность октаэдра состоит из 8 треугольников, а исходного тетраэдра — из таких же треугольников. А объём октаэдра равен где — объём тетраэдра.

Итого сумма экономичностей равна

Заметим, что ответ — это где — количество четвёрок вершин угольника, — это количество троек вершин угольника, которые вместе с центром образуют выпуклый четырёхугольник, а — количество троек вершин угольника, для которых центр лежит строго внутри образованного ими треугольника (тогда через них и центр можно провести 3 невыпуклых четырёхугольника).

Ясно, что и где — количество способов выбрать пару противоположных вершин -угольника и ещё одну вершину (такие способы порождают треугольник, а не четырёхугольник).

Наконец, так как любая такая тройка однозначно задаётся вершиной, несоседней с центром -угольника (на рисунке ), а также расстояниями от этой вершины до двух других.

Итого способов.

Вспомним, что угол правильного пятиугольника равен Поэтому, имея произвольный вектор мы можем отложить равный ему по длине вектор так, чтобы То есть, мы можем повернуть любой отрезок на А проделав это 5 раз, мы повернём отрезок на

Теперь предложим алгоритм решения задачи. По точкам и отметим вершины пятиугольника а потом пятиугольника

Заметим, что — диагональ поэтому То есть сторона пятиугольника больше стороны пятиугольника но меньше, чем удвоенная сторона этого же пятиугольника. Отсюда,

Так же заметим, что

Тогда откуда То есть точки лежат на одной прямой.

Повернём вектор на и получим Вектор При этом принадлежит а так же так как Поэтому, если несколько раз отложить то есть сначала повернуть на и получить затем так же повернуть и получить и так далее, то какая-то из точек окажется на отрезке

Так как разница между десятичными цифрами не превосходит 9, то Если бы такое девятизначное число существовало, то оно бы начиналось на 9 и заканчивалось на 0 (так как разность между первой и последней цифрой — Из условия на разности соседних цифр, если выписать чётности, получится последовательность нччннччнн, но последнее число должно быть нулем — противоречие.

Пусть есть несколько примеров: 12473829, 87526170, 98637281.

Заметим, что -гранная пирамида имеет вершин и ребер, а -гранная призма — вершины и ребра. Таким образом, если вместо пропусков подставить по порядку трёхзначные числа то

Тогда

Сделаем замену: Трехзначность исходных чисел выполняется при Получим варианта.

Заметим, что в равностороннем треугольнике Пусть треугольник не равносторонний, его меньшая сторона — Сделаем гомотетию в с коэффициентом (растянем треугольник до треугольника тогда вписанная окружность треугольника перейдет во вписанную окружность треугольника Пусть переходит в — в

Тогда

Значит,

Так как то и причём одно из неравенств строгое (иначе треугольник окажется равносторонним). Значит, не пересекает вписанную окружность, поэтому и В качестве примера можно взять треугольник с длинами сторон Для него отрезки и исходят из вершины треугольников и причем их вторые концы лежат строго внутри противолежащих сторон, так как

Если разность равна Пусть Сумма всех делителей числа 2025 равна

По формуле суммы геометрической прогрессии, сумма делителей меньше, чем

Значит, максимальный делитель (само число превосходит сумму остальных, поэтому для получения минимального положительного результата перед ним должен стоять плюс, а перед остальными делителями — минус. Получается, что ответ имеет вид Заметим, что разность больше то есть по крайней мере двузначная.