Формула единства 2023

Обозначим

Тогда уравнение имеет вид

Если какое-то значение является решением, то ведь иначе левая часть больше (при ) или меньше (при ) в силу монотонного возрастания функции на своей области определения.

При этом легко видеть, что все решения являются и решениями исходного уравнения (будет верное тождество, при этом обе части определены в силу положительности функции ), то есть это не только необходимое, но и достаточное условие.

Корнями уравнения являются числа и . Их сумма равна

Пусть Марина как-то покрасила кубики, а Катя как-то сложила из них куб. Пусть на поверхности куба синих и красных граней. Используя идею так называемой дискретной непрерывности, покажем, что Катя может постепенно привести куб к нужному ей виду. Заметим, что каждый из 8 кубиков можно повернуть так, чтобы все его грани, которые были снаружи, оказались внутри, и наоборот. Если сделать это со всеми восемью кубиками, то на поверхности окажутся как раз все те грани, которые изначально были внутри, то есть синих и красных. Заметим теперь, что каждый кубик можно поворачивать постепенно - так, чтобы за один ход две внешних грани оставались на месте и лишь третья заменялась на противоположную. При таком повороте количество синих граней на поверхности меняется не более, чем на Итак, изначально синих квадратов было в конце стало а при каждом действии менялось не более, чем на Поскольку число находится между и то в какой-то момент их было ровно

Будем нумеровать игры с нуля. Тогда в игре с номером победитель получает денег.

Обозначим через сумму денег, на которую Паша стал богаче (а Игорь - беднее) по результатам всех игр.

Заметим, что последнюю игру Паша выиграл (иначе за неё он потерял бы больше денег, чем приобрел на всех предыдущих этапах). Значит, последовательность игр можно разбить на серии, в каждой из которых Паша выиграл последнюю игру и проиграл все остальные в серии (возможно, никакие). Если серия началась с игры номер и окончилась игрой номер то Паша выиграл за эту серию

Если то сразу же получаем серию из одного выигрыша такой же суммы

Итак, двоичное представление числа однозначно описывает набор выигранных Пашей игр (за исключением номера последней игры): слагаемое (для означает, что очередная серия началась с игры номер а предыдущая серия оканчивается победой на игре с номером

По условию, Но все числа от 901 до 998 содержат в двоичном представлении поэтому Паша выиграл и игры. При этом есть и последняя игра под номером 9, которую Паша тоже должен был выиграть (как мы отметили в начале решения). В итоге Паша выиграл хотя бы 4 игры.

Кроме этого, за первые 6 игр Паша должен был выиграть хотя бы 3 раза:

1.

из первых четырёх игр выиграна хотя бы одна, так как

2.

из двух следующих также выиграна хотя бы одна, так как

3.

если из первых четырёх выиграна только одна, то после них сумма не более пятая и шестая обязательно должны быть выиграны.

Таким образом, суммарно Паша выиграл не менее игр.

Пример для игр: изначально у Паши было рублей, у Игоря – рублей, всего сыграно 10 игр. Тогда

Значит, Паша выигрывал в играх с номерам а Игорь – в играх В конце у Паши окажется рубля, а у Игоря – рублей.

Пусть - середина - центр основания Тогда центр описанной сферы лежит на (поскольку пирамида правильная). Проекция строится как середина проекции а проекция – как точка, делящая проекцию в отношении Обозначим через прямую, параллельную и проходящую через середину Она проходит через центр описанной сферы: и перпендикулярны так что перпендикулярна а также пересекает Проекция строится как параллельный перенос проекции проходящий через середину проекции Эта проекция пересекает проекцию ровно в проекции центра описанной сферы.

Если или то решений нет. Если то получим При решений нет, подходит, а при левая часть увеличивается менее чем в два раза при увеличении на Пусть Тогда

Последнее неравенство следует из разложения по биному Ньютона для Действительно:

Значит,

логарифмируя и деля на получаем:

Пусть Заметим, что убывает при и (у этой функции производная равна и она отрицательна при Поэтому нет решений с и с

С другой стороны, можно проверить, что

при Действительно, при это

и производная выражения равна

Но (так как при

так что

уже при Таким образом, уравнение не имеет решений при

Замечание. Вместо оценки можно использовать (верную при тогда упрощаются вычисления, но нужно перебирать больше исключений.

а)

Разобьём конфеты на групп по штуки. За хода можно узнать всё про данные конфеты спросив, например, про наборы Если на первые два вопросы ответы будут разными, то мы узнаем, каковы конфеты и а из третьего вопроса поймём, какова Вернувшись к первому вопросу, узнаем и про Если же ответы на первые два вопроса совпадают, значит, и одинаковы. Если ответ на третий вопрос меньше то и невкусные, а если или более, то вкусные; вкусная ли определим по четности этого ответа. И вновь, вернувшись к первому вопросу, определим, какова

Замечание.

Подойдёт и другой набор вопросов, например,

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

б)

Возможны различные решения этого пункта. Приведём решение, позволяющее найти все конфеты даже за ходов. Докажем следующее утверждение: "Если для конфет задача решается за вопросов, то для конфет ее можно решить за вопроса"(Поскольку для одной конфеты достаточно одного вопроса, то для конфет хватит вопросов).

Действительно, пусть есть способ узнать про конфет за вопросов, и пусть первый из этих вопросов задаётся про некоторое множество X. Добавим три конфеты а к списку вопросов добавим три вопроса про множества , и и уберём вопрос про По ответам на эти вопросы можно узнать, каковы конфеты и сколько сладких конфет в (точно так же, как в пункте а, только заменяется на