Тема Турнир Ломоносова - задания по годам

ТурЛом 2023

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела турнир ломоносова - задания по годам

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#68031

Действительные числа $x$ и $y$ таковы, что

5 3 x +y = y+ x = 23

Какое наибольшее значение может принимать произведение $xy?$

Источники: Турнир Ломоносова-2023, 11.1 (см. turlom.olimpiada.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте запишем наше условие как системку, что два левых выражения равны 23. Понятно, что x, y не нули. Поэтому что можно сделать в системе, чтобы получить где-то xy?

Подсказка 2

Домножить одно из уравнений на x, а другое на y! И выйдет что-то вида xy+3 = 23x, xy+5 = 23y. А что стоит сделать теперь, чтобы вообще все было только через xy?

Подсказка 3

Перемножить два этих уравнения) Дальше делаем замену и решаем задачу окончательно!

Показать ответ и решение

При условии того, что обе переменные не равны нулю, имеем:

{ xy+ 5= 23y xy+ 3= 23x.

Значит:

(xy+ 5)(xy+ 3) =232xy

Пусть $t=xy :$

t2+ 8t+15 =529t

t2− 521t+15= 0

Тогда получим:

√ ------ t= 521±--271-381. 2

Докажем, что наибольший корень реализуется. Действительно, из обоих уравнений получаем $x,y,$ подставляя $xy.$ Они подходят, так как наши преобразования были равносильны с учетом того, что $x⁄= 0,y ⁄=0.$

Ответ:

$521+√271381 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#68032

Арифметическая прогрессия $a ,a,... 1 2$ задана первыми двумя членами: $a = 381,a = 406. 1 2$ Определим последовательность $b k$ следующим образом: $b1 = a1 = 381,bk+1 =bk⋅ak+1$ для каждого $k ≥1.$ Тогда $b2 = 381⋅406= 154686.$ В записи этого числа используется 5 различных цифр: $1,4,5,6$ и 8. А какое наименьшее количество различных цифр может использоваться в записи числа $bk$ для натурального $k?$

Источники: Турнир Ломоносова-2023, 11.2 (см. turlom.olimpiada.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам дали всего лишь два члена каждой последовательности… Кажется, это маловато, поэтому давайте посчитаем еще несколько членов каждой из последовательностей! Что интересное мы видим?

Подсказка 2

Да, третий член последовательности b имеет всего лишь 2 различные цифры в своей записи! Что осталось сделать, чтобы сказать, что 2 — это ответ на вопрос задачи?

Подсказка 3

Да, достаточно показать, что любой член последовательности b не может состоять из одной цифры! Перебирать дальше члены последовательностей не имеет смысла, ведь числа получаются огромные, что может нам помочь в таком случае?

Подсказка 4

Конечно, надо подумать про делимость всех членов b, после третьего! Поскольку a₄ кратно 4, то все члены последовательности b, начиная с 4-ого кратны четырём! А что еще можно сказать про каждый член последовательности b?

Подсказка 5

Верно, каждый из них оканчивается на 6! Что осталось показать, чтобы решить задачу?

Показать ответ и решение

Оценка. Докажем, что всего одна цифра в записи $b k$ не может быть. Найдем $b ,a : 3 4$

a3 = a2+(a2− a1)= 431;

a4 = a3+(a3− a2)= 456;

b = b ⋅a = 66 669 666. 3 2 3

Заметим, что $a4$ делится на $4,$ значит $b4$ и все $bk$ будут делится на $4.$ Кроме того, каждое из $ak$ оканчивается или на $1,$ или на $6.$ Поэтому все $bk$ при $k ≥4$ будут оканчиваться на $6(6⋅1= 6,6⋅6 =36).$ Получается, если в записи $bk,k≥ 4,$ будет всего одна цифра, то это цифра $6.$ Тогда последние две цифры $bk$ это $66,$ т.е. $bk$ не делится на $4,$ противоречие.

Пример. В записи $b3$ используются только две цифры.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#68033

Внутри окружности $ω$ проведены две перпендикулярные хорды, пересекающиеся в точке $P;$ точки $M 1$ и $M 2$ их середины. Прямая $M1M2$ пересекает $ω$ в точках $A$ и $B,$ причём $M1$ лежит между $A$ и $M2.$ Какие значения может принимать разность $BM2 − AM1,$ если $PM1 = 15,PM2 = 20?$

Источники: Турнир Ломоносова-2023, 11.3 (см. turlom.olimpiada.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Такс, у нас есть две хорды и их середины, есть еще и третья хорда, у которой мы тоже можем отметить середину! Какое доп.построение хочется сделать?

Подсказка 2

Да, мы знаем, что отрезок проведённый из центра окружности к середине хорды — перпендикулярен хорде, поэтому давайте проведём три таких отрезочка!(к каждой из хорд). Что можно сказать про полученный четырёхугольник OM₁PM₂, где O - центр окружности?

Подсказка 3

Верно, это прямоугольник! Тогда мы можем найти M₁M₂ из прямоугольного треугольника! Осталось понять, как от M₁M₂ прийти к исходной разности в вопросе задачи, учитывая, что M - середина AB!

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $O −$ центр окружности, $M$ — середина отрезка $AB.$ Поскольку отрезок, соединяющий центр окружности с серединой хорды перпендикулярен этой хорде,

∠OM1P =∠OM2P =∠OMA = 90∘.

Заметим, что

BM2 − AM1 = (BM − MM2 )− (AM − MM1 ) =MM1 − MM2,

т.к. $AM = BM.$

Далее, в четырёхугольнике $OM1P M2$ три угла прямые, т.е. этот четырёхугольник — прямоугольник,

OM1 =P M2 = 20,OM2 = PM1 = 15,∠M1OM2 = 90∘.

Тогда в прямоугольном треугольнике $OM1M2$ проведена высота $OM$ на гипотенузу. По теореме Пифагора $∘ ---2----2- √ ------- M1M2 = OM 1 +OM 2 = 400 +225= 25.$ Так как катет есть среднее геометрическое гипотенузы и своей проекции на неё, то $MM1 =16,MM2 = 9.$ Откуда получаем ответ.

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#68034

Положительные числа $a,a ,...,a 1 2 n$ таковы, что $a + a +...+a > 2023. 1 2 n$ Докажите, что

√-- 3√-- n√-- a1⋅a1 +a2⋅ a2+ a3⋅ a3+ ...+ an an >1000.

Источники: Турнир Ломоносова-2023, 11.4 (см.turlom.olimpiada.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нужно как-то прийти к корням, причем необычной степени…нам известна сумма всех чисел, а также сумма всех чисел, но с какими-то множителями… Попробуем выцепить из всех чисел группу каких-то больших, у которых указанная в условии сумма с корнями будет точно больше 1000.

Подсказка 2

Попробуем отделить от всех чисел такие, что a_m > 1/2^m. Что можно сказать про сумму этих чисел и про сумму этих чисел, но в произведении с корнями?(какие даны в условии)

Подсказка 3

Их сумма хотя бы 2022, а корни можно связать с 1/2)

Показать доказательство

Разобьем все эти числа на две группы. Число $a k$ попадает в первую группу, если $a < -1. k 2k$ А иначе попадает во вторую группу. Тогда сумма чисел в первой группе меньше, чем

1 1 1 1 2 + 4 +⋅⋅⋅+2n = 1− 2n-< 1.

Тогда сумма чисел во второй группе будет хотя бы $2023− 1= 2022.$ Пусть $am$ находится во второй группе, тогда, так как все числа положительны:

√ --- 1 m am ≥ 2

Значит,

am ⋅ m√am-≥ am. 2

Тогда все слагаемые из второй группы дают вклад в

a1⋅a1 +a2⋅√a2+ a3⋅ 3√a3+ ...+ an n√an >1000.

Который составляет хотя бы половину от суммы всех чисел этой группы, то есть точно больше $20222= 1011.$ Следовательно, верно и требуемое.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#68035

Авантюрист прибыл на остров, где живёт племя аборигенов, и пытается понять их язык. На данный момент ему известно следующее: 1. в языке всего две буквы $A$ и $B,$ каждая последовательность букв образует слово, у которого есть некоторое значение; 2. несмотря на то, что слов бесконечно много, значений у слов конечное количество;

Авантюрист придумал обозначение для слов, имеющих одинаковое значение: он стал писать между ними знак равенства «=». 3. если $w1 =w2,$ то для любых слов $s$ и $t$ выполнены равенства $sw1t=$ $sw2t,sw1 =sw2,w1t= w2t$ (для слов $x$ и $y$ под $xy$ понимается слово, полученное приписыванием к слову $x$ справа слова $y);$ другими словами, если в некотором слове заменить его подслово на слово с тем же значением, то значение слова от этого не изменится. Докажите, что если $ABB = B,$ то $BAB =B.$

Источники: Турнир Ломоносова-2023, 11.5 (см. turlom.olimpiada.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Понятно, что хочется цепочкой слов что-то делать с ВАВ, причем используя АВВ. Не хватает В в конце ВАВ…подумаем в сторону В, сколько можно их добавить?

Подсказка 2

Если мы сколько-то добавим, заменим АВВ на В, то избавимся от А! Тогда у нас останется множество В-шэк, от которого хотим прийти к одной В… Тогда подумаем, а сколько В-шэк на какое количество В-шэк можно заменить?

Подсказка 3

Какое-то количество В-шэк точно можно заменять на меньшее количество (в силу конечного количества значений). Попробуем с помощью цепочки равенств доказать, что какое-то количество В можно заменять на одну В! Останься лишь воспользоваться подсказкой 2)

Показать доказательство

Поскольку различных значений у слов конечное количество, то среди слов $B,BB,...$ найдутся два с одинаковым значением. Пусть это слова из $n$ и $m$ $(n< m)$ букв $B :$

B◟B◝..◜.B◞= B◟B-.◝◜..B◞. n m

Докажем, что слово $B$ имеет то же значение, что и слово из $k= m − n +1 ≥2$ букв $B.$ Если для такой пары оказывается, что $n = 1,$ то это верно. В противном случае при $n ≥2 :$