Миссия выполнима 2022
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На сторонах 
и 
неравнобедренного треугольника выбраны точки 
и 
соответственно. Биссектриса угла 
и
серединный перпендикуляр к отрезку 
пересекаются в точке 
Известно, что 
Найдите
длину отрезка 
Источники:
Подсказка 1
По условию треугольники AMN и MLC – равнобедренные, значит, ∠NMA = ∠BAC, а также ∠LMC = ∠BCA, что тогда можно сказать про величину угла NML? Также подумайте, как этот угол может нам помочь в дальнейшем решении.
---------------------------—
Подсказка 2
∠NML = ∠ABC = 135° Давайте рассмотрим треугольник NBL, точка P лежит на пересечении биссектрисы этого треугольника и серединного перпендикуляра. Что мы можем сказать про данную точку? И как найти величину угла NPL?
---------------------------—
Подсказка 3
Точка P лежит на окружности, описанной около треугольника NML, следовательно, его величина будет равна 180°-135° = 45°. Кроме того, NP = PL, так как стягивают равные дуги. Значит, PM является не только серединным перпендикуляром, а также биссектрисой. Теперь в треугольнике MPL мы знаем одну сторону и угол, лежащий против нее, что еще нам необходимо, чтобы найти сторону PM?
---------------------------—
Подсказка 4
Если мы найдем угол MLP, от можно будет применить теорему синусов и найти сторону PM. В этом нам поможет значение угла ∠NML и тот факт, что треугольники NMP и LMP равные.
Так как из условий 
следуют равенства 
и 
соответственно, то
Заметим, далее, что точка 
лежит на описанной окружности треугольника 
(и делит пополам дугу 
не содержащую 
).
Поэтому
с учётом того, что 
и 
лежат в одной полуплоскости относительно прямой 
заключаем, что 
- ортоцентр треугольника
Рассмотрим теперь треугольник 
Используя равенства
и равнобедренность треугольника 
нетрудно найти углы 
и 
Применив теорему синусов, получим
откуда
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
