Тема БИБН (Будущие исследователи - будущее науки)

БИБН - задания по годам → .04 БИБН 2022

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела бибн (будущие исследователи - будущее науки)

Разделы подтемы БИБН - задания по годам

БИБН до 2020

БИБН 2020

БИБН 2021

БИБН 2022

БИБН 2023

БИБН 2024

БИБН 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#74464

Решите неравенство

2 f(f(x))<(f(x)) ,

где $f(x)= 2x2 − 1.$

Источники: БИБН-2022, 11.1 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Можно, конечно, сходу подставить ƒ(x) в наше неравенство. Но можно чуть-чуть облегчить себе жизнь и сделать замену ƒ(x)=y. Какое неравенство при этом получится?

Подсказка 2

Верно, y²<1! Тогда y лежит между -1 и 1. Сделайте обратную замену и найдите x, которые будут удовлетворять неравенствам.

Показать ответ и решение

Пусть $y =f(x)= 2x2− 1.$ Тогда по условию

2 2 2y − 1 <y

− 1< y < 1

После обратной замены

0 <2x2 < 2

0< |x|< 1

Ответ:

$(−1;0)∪ (0;1)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#74465

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции

y = (arcsinx)⋅(arccosx)

Источники: БИБН-2022, 11.2 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

На прямую оценить наше произведение как-то непросто. Но мы же помним, что arcsinx+arccosx=π/2. Поэтому можно избавиться от arccosx...

Подсказка 2

Давайте сделаем замену: arcsinx=t. Тогда нам необходимо найти min и max функции t(π/2-t), при -π/2≤t≤π/2. Что будет являться максимумом нашей функции?

Подсказка 3

Т.к. t(π/2-t)- это парабола с ветвями вниз, то ее максимум находится в вершине. Осталось найти минимум. Ясно, что он находится на каком то из концов отрезка [π/2;π/2]. Найдите его и завершите решение!

Показать ответ и решение

Значения $arcsinx$ и $arccosx$ при любом $x ∈[−1;1],$ как известно, связаны соотношением

π arcsinx+ arccosx = 2

Таким образом, требуется исследовать функцию

y(t)= t(π∕2− t),

где $[ π π] t= arcsin x∈ − 2;2 .$ Данная квадратичная функция с отрицательным старшим коэффициентом принимает наибольшее значение в точке $π t= 4$ (вершине параболы), равное $π2 16.$ Наименьшее значение принимается на границе промежутка $[ π π] − 2;2 ,$ а именно, в точке $π t=− 2$ и оно равно $π2 − 2$ (на другом конце промежутка, при $π t = 2,$ значение равно нулю). Соответствующие значения $x,$ в которых достигаются наибольшее и наименьшее значения функции, таковы: $√2 x= 2$ и $x =− 1.$

Ответ:

$π2,− π2 16 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#74467

Числа $x,y$ удовлетворяют уравнению

∘ -3--- ∘ -3--- ∘-3--- ∘-3--- x +y + y +x = x + x+ y + y

Можно ли утверждать, что $x= y?$

Источники: БИБН-2022, 11.3 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как говорится, начнем с ОДЗ. Видно, что нам хватит того, что x,y≥0. Тогда мы можем с чистой совестью возвести обе части в квадрат. Что останется после приведения подобных?

Подсказка 2

Верно, √(x³y³+xy+x⁴+y⁴)=√(x³y³+xy+xy³+x³y)! Можно еще раз возвести в квадрат. Кажется, что после приведения подобных отлично выносится (x-y)...

Подсказка 3

Действительно, x⁴+y⁴-x³y-xy³=(x-y)²(x²+xy+y²). Подумайте, при каких x и y наше выражение обращается в 0 и завершите решение!

Показать ответ и решение

Сначала исследуем ОДЗ переменных. Поскольку

3 ( 2 ) x + x≥ 0⇔ x x + 1 ≥0,

то $x≥ 0.$ Аналогично, $y ≥0.$ Таким образом, для неотрицательных $x,y$ обе части неравенства имеют смысл и неотрицательны. Поэтому возведение в квадрат обеих частей приводит к равносильному выражению, которое, (после сокращения) запишется так:

∘ -3-3------4---4 ∘-3-3-------3---4- x y +xy +x + y = x y + xy+xy + x y

После возведения в квадрат и уничтожения подобных членов оно примет вид:

4 4 3 3 x +y − xy − xy =0

x3(x− y)− y3(x − y)= 0

(x− y)(x3− y3)= 0

(x − y)2(x2 +xy+ y2)=0

[ [ x− y =0 ⇔ x =y x2 +xy+ y2 = 0 x =y =0

Второе выражения это верно, т.к. $x ≥0$ и $y ≥ 0.$

Ответ: да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#74468

Докажите, что существует бесконечное множество троек натуральных чисел $x,y,z,$ удовлетворяющих соотношению $x2+y2 = z2022.$

Источники: БИБН-2022, 11.4 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что напоминает данное равенство?

Подсказка 2

Пифагорову тройку! Степени четны, быть может, стоит попробовать как-то преобразовать самую привычную пифагорову тройку?

Подсказка 3

Чтобы не потерять связь с тройкой (3, 4, 5,, попробуем подставить «подобную ей» вместо х, у и z. Хочется сделать так, чтобы z^2022 было равно 25t^2 при некотором t. Как это сделать?

Подсказка 4

Z должно делиться на 5. Получается, что вместо z нужно взять 5n, а остальные числа подогнать под равенство не составит труда)

Показать доказательство

Возьмем пифагорову тройку, например, $(3;4;5),$ и будем рассматривать соотношения

2 2 2 (3t) + (4t) =(5t)

для различных натуральных $t.$ Если положить

2 2 2 2 2022 2 x = 9t ,y =16t,z = 25t ,

то взяв число $z,$ делящееся на 5, т.е. $z =5n$ для натурального $n,$ получим

25t2 = 52022n2022 ⇔ t= 51010n1011

Таким образом, при любом натуральном $n$ числа вида $x= 3t,y = 4t,$ где $t= 51010n1011,$ и $z = 5n$ удовлетворяют исходному уравнению.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#74470

На координатной плоскости дан прямоугольник с целочисленными координатами вершин, отличный от квадрата. Докажите, что можно провести несколько прямых, параллельных сторонам прямоугольника, так, что прямоугольник разобьется на квадраты с целочисленными координатами вершин.

Источники: БИБН-2022, 11.5 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте сначала "причешем" задачу, чтобы нам было удобнее её решать. Нам дали произвольный прямоугольник с вершинами в целых точках. Тогда как, не умаляя общности, можно его представить на координатной плоскости?

Подсказка 2

Верно, можно изобразить прямоугольник с одной из вершин в начале координат O, потому что иначе сделаем сдвиг на соответствующий вектор, и ничего не поменяется. Давайте теперь решать задачу на языке векторов. Введите обозначения для координат вершин прямоугольника. Как теперь можно записать условие перпендикулярности смежных сторон с точкой O?

Подсказка 3

Ага, на языке векторов это будет значить, что их скалярное произведение равно 0. Отлично, уже что-то! Теперь нужно как-то воспользоваться целостностью координат. Попробуем разобрать два случая, когда координаты точек взаимно просты и когда это не так. Давайте сначала рассмотрим первый случай. Почему в этом случае можно сказать, что наш исходный прямоугольник это квадрат?

Подсказка 4

Пусть координаты вершин были (p;q) и (m;n). Тогда из прошлой подсказки мы знаем, что pm + qn = 0, а из взаимной простоты получаем, что p = ±n, q = ±m. В этом случае всё понятно. Пусть теперь НОД(p;q) = k. Тогда какие координаты точек на одной стороне хорошо бы рассмотреть? Аналогично с другими координатами.

Подсказка 5

Верно, давайте рассмотрим координаты точек (pi;qi), где i = 1, 2, 3,..., k-1, и проведём через них прямые, параллельные стороне OB. Они пересекут в каких-то точках противоположную сторону прямоугольника, причём для них выполняется определённое равенство для векторов. Теперь если же m и n взаимно просты, то проделайте те же действия. Осталось только понять, почему это решает задачу и аккуратно довести её до конца.

Показать доказательство

Пусть $ABCD$ — данный прямоугольник. Без ограничения общности можно считать, что $A = O$ — начало координат: иначе сместим начало координат в точку $A,$ а в конце сделаем сдвиг на целочисленный вектор $−→ AO.$ Обозначим векторы $−−→ ⃗u= OD =(p;q),$ $−−→ ⃗v = OB = (m; n),$ где $p$ , $q,m,n$ — целые числа. Поскольку $⃗u$ и $⃗v$ взаимно перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю, т.е. $pm +qn =0$ (этот факт также следует из соотношения для угловых коэффициентов перпендикулярных прямых $OB$ и $OD$ ).

$PIC$

Рассмотрим сначала случай, когда $p$ и $q$ не взаимно просты. Тогда $p= p1k,q =q1k,k =$ НОД( $p,q)> 1.$ В этом случае рассмотрим на стороне $OD$ промежуточные точки $D ,D ,...,D , 1 2 k−1$ где $−−O→D = (pi;qi),i= i 1 1$ $1,2,...,k− 1.$ Проведём через точки $D i$ прямые, параллельные стороне $OB.$ Они пересекут сторону $BC$ в точках $′ Di,$ где $−−→′ −−→ −−→′ −−→ −−→ ODi = OB + BDi = OB + ODi = (m+ p1i;n+ q1i).$

Таким образом, точки $Di$ и $′ Di$ имеют целочисленные координаты и тем самым, прямые $′ DiDi(i= 1,2,...,k− 1)$ разбивают прямоугольник $OBCD$ на $k$ прямоугольников с целочисленными вершинами. Назовем это разбиением первого типа.

Аналогично, если $m$ и $n$ не взаимно просты, то прямыми, параллельными стороне $OD,$ разобьем $OBCD$ на меньшие прямоугольники с целочисленными вершинами. Назовем это разбиением второго типа; прямые этого разбиения проходят через промежуточные точки $Bj$ на стороне $OB,$ где $j = 1,2,...,l− 1,$ а $l$ — наибольший общий делитель $m$ и $n,(m = m1l,n=$ $n1l),−−O→Bj = (m1j;n1j).$ Заметим, что в случае, когда одновременно $k> 1$ и $l>1,$ прямые первого и второго разбиений разбивают прямоугольник $OBCD$ на $k⋅l$ равных прямоугольников с вершинами в точках $Mij,$ где $−O−M−i→j = −−O→Di+ −O−→Bj =(p1i+ m1j;q1i+ n1j),i$ $=1,2,...,k,j = 1,2,...,l,$ т.е. все вершины имеют целочисленные координаты.

Итак, приходим к случаю, когда координаты каждого из векторов $⃗u,⃗v$ взаимно просты. Но тогда из равенства $pm =−qn$ получим, что $p =±n,q = ±m$ (действительно, из этого равенства следует, что $p$ делится на $n$ и, в то же время, $n$ делится на $p,$ значит, $p =±n;$ аналогично, $q = ±m,$ с учетом знака в данном равенстве). В этом случае стороны прямоугольника $OBCD$ равны: $|OD|= ∘p2-+q2 = √n2+-m2 =|OB|,$ и наш прямоугольник квадрат.

Предыдущая подтема

Следующая подтема