Бельчонок 2023

Первое решение.

Выложим в ряд орехи и грибы — сделать это можно способами. Далее рассмотрим позиции между выложенными орехами и грибами и по краям от них — получим 14 мест для ягод. Остаётся выложить их туда способами.

Второе решение.

Сначала объединим орехи и грибы в неягоды, откуда получим 13 неягод и 11 ягод. Далее назовём нейтроном пару (неягода, ягода).

Если на крайней левой позиции в ряду лежит неягода, то 11 ягод образуют нейтроны, поскольку рядом с ними не могут находиться другие ягоды, и левее каждой точно есть неягода. Отсюда имеем 11 нейтронов и 2 дополнительные неягоды. В итоге получаем способов поставить эту неягоду, то есть 78 расстановок.

Если на крайней левой позиции лежит ягода, то остаются только 10 ягод, каждая из которых попадает в свой нейтрон. Получаем 10 нейтронов и 3 неягоды, откуда имеем расстановок.

Получаем расстановки. Остаётся вспомнить, что неягоды делятся на два вида. Чтобы учесть это, домножим все способы на то есть число способов расставить орехов среди тринадцати неягод, откуда и получаем ответ.

Пусть — центр окружности Заметим, что

Прямоугольные треугольники и подобны, поскольку

Тогда

Из подобия треугольников и мы получаем

Поэтому

Неравенство из условия равносильно

По неравенству о средних отсюда после применения формулы разности квадратов имеем

Аналогично оцениваем два других слагаемых и получаем, что

мы доказали треубемое.

Решим задача для произвольного Докажем утверждение, известное в олимпиадных кругах как теорема Турана.

Оценка: Докажем по индукции, что число ничьих не превосходит

База индукции: При это очевидно. При все три игры не могли закончиться вничью, иначе у всех команд было бы одинаковое число очков.

Шаг индукции: Рассмотрим две команды и сыгравшие вничью. С каждой из остальных команд хотя бы одна из них сыграла не вничью, иначе образуется запрещенная тройка команд. Значит, общее число ничьих в играх с участием этих двух команд не больше По предположению индукции в играх между остальными командами было не более ничьих. Следовательно, общее число ничьих не превосходит

Пример: Пронумеруем команды числами от до Пусть каждые две команды с номерами разной чётности сыграли вничью, а в играх между командами с номерами одной чётности победила команда в меньшим номером. Если то команд имеют нечётный номер и команда - чётный, поэтому количество ничьих равно При получаем по команд с номерами каждой чётности и ничьих. В обоих случаях полученное число равно При этом каждые три команды в играх между собой набрали либо 0, 2 или 4 очка, если имеют номера одной чётности, либо очка, если две из них имеют номера одной чётности, а третья - другой.

Замечание. Заметим, что идея примера приходит из двудольного графа, где разная чётность номеров отвечает разным компонентам.

Подставим и получим ответ.

Если то получим сравнение

где Но это сравнение невозможно ни при каком (проверку осуществляем с перебора остатков по модулю Значит,

1.

В случае имеем уравнение Если то При решений нет. Далее считаем Имеем и откуда для некоторого натурального Из равенства следует, что делится на 3 (иначе правая часть не будет делиться на 9). Тогда делится на Следовательно, делится на 7. Но тогда так что Однако что дает противоречие.

2.

Рассмотрим случай При из уравнения находим Пусть далее и, как следствие, Имеем Отсюда следует, что делится на 7. Это возможно только при условии Но тогда что приводит к противоречию.

Число способов рассадки, когда Андрей и Боря сидят рядом, равно (достаточно объединить их в одного человека двумя способами). Способов рассадки, при которых и Андрей-Боря, и Вася-Гриша окажутся рядом, равно Поэтому они могут сесть способами.

Проведём через точку касательную к пересекающую отрезки и в точках и соответственно. Пусть и — точки, в которых касается сторон и соответственно.

Заметим, что Прямые и параллельны как перпендикуляры к одному диаметру. Поэтому треугольники и а также и подобны с коэффициентом Тогда

откуда

Так как то Следовательно,

Аналогично

Сложив три полученных неравенства, получим

Оценка: До пересчёта у команды «Бельчата» было хотя бы на 2 очка больше, чем у команды «Метеор», а после пересчёта - хотя бы на 2 очка меньше. Кроме того, чтобы после пересчёта оказаться первой, команда «Метеор» должна иметь хотя бы одну победу. Действительно, в каждом матче разыгрывается 2 очка, поэтому если бы у команды «Метеор» не было побед, то она набрала бы не более половины возможного числа очков и не могла бы стать первой. Аналогично, для того чтобы команда «Бельчата» стала последней, у неё должно быть поражений больше, чем побед. Таким образом, после пересчёта команда «Метеор» потеряет как минимум 1 очко. Следовательно, команда «Бельчата» должна потерять не менее 5 очков, т. е. у неё должно быть не меньше пяти побед и не меньше шести поражений. Поэтому она сыграла как минимум 11 матчей, значит, в турнире участвовало не менее 12 команд.

Пример: Приведён в таблице (первой буквой В обозначен выигрыш, два последних столбца — количество очков до и после пересчета соответственно).

Уравнение равносильно

Если то запишем эту пару в ответ.

Теперь рассмотрим Тогда это натуральное число и на него делится левая часть уравнения

А значит, для некоторого натурального числа

После подстановки и сокращения на получим уравнение:

Если снова посмотреть по модулю то есть разделить в столбик левую часть на натуральное число , то окажется, что число

должно быть целым.

Более того, поскольку это равносильно неравенству которое верно при

Действительно, если то что невозможно при

Таким образом, а значит,

При уравнение принимает вид что невозможно для

Если то число будет целым только при однако пара не удовлетворяет уравнению

При уравнение переписывается в виде Отсюда находим, что и затем