Тема Межвед (на базе ведомственных образовательных организаций)

Межвед - задания по годам → .03 Межвед 2021

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела межвед (на базе ведомственных образовательных организаций)

Разделы подтемы Межвед - задания по годам

Межвед до 2020

Межвед 2020

Межвед 2021

Межвед 2022

Межвед 2023

Межвед 2024

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#78851

На сторонах $BC$ и $CD$ квадрата $ABCD$ выбраны точки $E$ и $F$ таким образом, что угол $EAF$ равен $45∘.$ Длина стороны квадрата равна 1. Найдите периметр треугольника $CEF.$

Источники: Межвед - 2021, 11.3 (см. v-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что нам вообще дали в задаче? Сторону квадрата и угол в 45 градусов. Скудный набор. Но при этом чуть-чуть про периметр нам известно, что это часть у двух сторон квадрата. Какая возможная есть гипотеза про вероятный периметр треугольника?

Подсказка 2

Ага, у нас треугольник расположен в углу и, если "развернуть" его гипотенузу, то периметр будет равен сумме двух сторон квадрата. Теперь это надо доказать. Попробуем сделать такую хитрую штуку. Что произойдёт, если точку D сначала отразить относительно AF, а потом относительно AE? Куда перейдёт точка D?

Подсказка 3

Верно, точка D перейдёт в точку B! Это будет так, потому что композиция двух осевых симметрий относительно пересекающихся прямых — это поворот на удвоенный угол между прямыми. Получается, что у нас точки B и D при отражении относительно сторон являются одной точкой X на EF. Но чем на самом деле является точка X в треугольнике AEF?

Подсказка 4

Да, это основание высоты из точки A. Это вытекает из свойств симметрии. Осталось только аналогично понять равенство отрезков, и мы добились своей цели. Победа!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Вспомним, что угол, под которым видна сторона треугольника из центра вневписанной окружности, равен $∘ α 90 − 2,$ где $α$ — угол, в который окружность вневписана.

Центр вневписанной окружности треугольника $CEF$ лежит на прямой $AC,$ т.к. биссектриса совпадает с диагональю квадрата $AC.$ Но при этом

∠ECF ∠EAF = 45∘ = 90∘−--2--,

то есть точка $A$ как раз является центром вневписанной окружности треугольника $CEF.$

$PIC$

Тогда точки $B$ и $D$ — точки касания вневписанной окружности с продолжениями сторон треугольника $CEF,$ а его периметр равен $BC + CD = 1+1 =2.$

Второе решение.

Если отразить точку $D$ относительно прямой $AF,$ а затем относительно прямой $AE,$ то она перейдет в точку $B.$ Действительно композиция двух осевых симметрий относительно пересекающихся прямых — это поворот на удвоенный угол между прямыми. То есть в нашем случае эти две симметрии эквивалентны повороту на угол $90∘$ относительно точки $A.$ Это означает, что образ точки $D$ при симметрии относительно $AF$ и образ точки $B$ при симметрии относительно $AE$ — это одна и та же точка; на рисунке она обозначена $K.$

$PIC$

Из точки $K$ отрезки $AE$ и $AF$ видны под углом $90∘$ (при симметрии сохраняются величины углов, поэтому например, углы $ABE$ и $AKE$ равны). Значит, точка $K$ — это основание перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $EF.$ И, наконец, поскольку $BE = EK$ и $DF = FK$ (при симметрии длины отрезков сохраняются), видим, что периметр треугольника $CEF$ равен сумме длин сторон $BC$ и $CD$ квадрата.

Ответ:

$2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#95206

У Олега есть $1000$ рублей, и он хочет подарить маме на $8$ Марта тюльпаны, причем непременно их должно быть нечётное число, и ни один оттенок цвета не должен повторяться. В магазине, куда пришел Олег, один тюльпан стоит $49$ рублей, и есть в наличии цветы двадцати оттенков. Сколько существует способов у Олега подарить маме цветы?

Источники: Межвед - 2021, 11.1 (см. v-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какое максимальное число цветков можно купить? Если бы нам не пришлось следить за чётностью количества, сколько букетиков мы смогли бы собрать?

Подсказка 2

Каждый оттенок мы могли бы или взять, или не взять, сколько тогда букетиков собралось бы (без учета чётности)?

Подсказка 3

Верно, 2^20. Но что делать с букетиками, в которых чётное количество оттенков? Было бы хорошо, если бы мы смогли добавлять цветки туда, где нужно подправить чётность количества. Но ведь у нас тогда будут повторы, нам бы еще один оттенок... или можно изначально собирать букеты иначе? ;)

Показать ответ и решение

Из условия очевидно, что максимальное количество цветов в букете — $20.$ Рассмотрим $19$ цветов $19$ различных оттенков. Собрать букет из этих цветов без учёта чётности можно $19 2$ способами. Если в букете нечётное количество цветов, то мы его оставляем, если же чётное — добавляем неиспользованный двадцатый цветок. Таким образом, общее количество способов собрать букет равно $19 2$ .

Ответ:

$219$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#95207

Функция $y =f(x)$ определена на множестве $(0,+∞ )$ и принимает на нем положительные значения. Известно, что для любых точек $A$ и $B$ на графике функции площади треугольника $AOB$ и трапеции $ABHBHA$ равны между собой $(HA,HB$ — основания перпендикуляров, опущенных из точек $A$ и $B$ на ось абсцисс; $O$ — начало координат).

Найдите все такие функции. Решение обоснуйте.

Источники: Межвед - 2021, 11.2 (см. v-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте отметим точку пересечения OB и AH(a). Можно ли из равенства площадей в условии перейти к другому, которое более удобно исследовать?

Подсказка 2

Обратите внимание на то, что у фигур из условия есть общие части. Это значит, что оставшиеся от них части равновелики. Но тогда снова придётся считать площадь трапеции... нельзя ли перейти к равновеликим треугольникам?

Подсказка 3

Треугольники AOH(a) и BOH(b) равновеликие! А чему же равна их площадь? Понятно, что она зависит от абцисс точек A и B.

Подсказка 4

Если абциссы равны x и t соответственно, то получаем равенство x * f(x) = t * f(t). Осталось лишь понять, какие же фукнции нам подходят ;)

Показать ответ и решение

Пусть $M$ — точка пересечения отрезков $OB$ и $AH A$ .

$PIC$

Так как площади треугольника $AOB$ и трапеции $ABHBHA$ равны между собой, то площади треугольников $AMO$ и трапеции $MBHBHA$ также равны между собой. Отсюда следует, что равны и площади треугольников $AOHA$ и $BOHB$ .

Пусть абсциссы точек $HA$ и $HB$ равны $x$ и $t$ соответственно. Тогда имеем равенство

x⋅f(x)= t⋅f(t)

При каждом возможном $t> 0$ получаем

f(x)= c, c>0 x

Ответ:

$f(x)= c,c >0 x$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#95398

Пусть $x 1$ и $x 2$ — наибольшие корни многочленов $f(x)= 1− x − 4x2+ x4$ и $g(x)= 16− 8x− 16x2+x4$ соответственно. Найдите $x1 x2.$

Источники: Межвед - 2021, 11.4 (см. v-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если нам нужно найти отношение корней, то можно попробовать найти сами эти корни, либо же сравнить выражения, которые мы применяем для описания этих корней. Явно искать корни здесь не представляется возможным, а потому надо смотреть на то, что нам даёт некоторая система уравнений, их описывающая.

Подсказка 2

Можно заметить, что любое решение системы уравнений из теоремы Виета для g(x) при домножении на некоторое число становится корнями системы для f(x). Теперь несложно видеть, что это за число! Что это значит для нашей задачи?

Показать ответ и решение

Первое решение. Заметим, что $g(2x)= 16f(x)$ . Тогда $x 1$ — корень $f(x)$ тогда и только тогда, когда $2x 1$ — корень $g(x)$ . Следовательно, $x1- 1 x2 = 2.$

Второе решение. Сравнение коэффициентов многочленов

2 4 2 4 f(x)=1 − x − 4x + x и g(x)=16− 8x− 16x + x

показывает, что в соответствии с формулами Виета корни многочлена $g(x)$ являются удвоенными корнями многочлена $f(x)$ . Отсюда вытекает, что $x1= 1. x2 2$

Ответ:

$0,5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#95399

Решите систему уравнений

{ x4+ 7x2y+ 2y3 = 0 4x2+ 27xy+ 2y3 =0

Источники: Межвед - 2021, 11.5 (см. v-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обратите внимание на то, что уравнения достаточно похожи) Быть может, их левые части можно записать в общем виде?...

Подсказка 2

Левые части — это функция от некоторой переменной t с коэффициентами, включающими y. Справа стоят нули, значит, мы ищем корни уравнения f(t)=0!

Подсказка 3

Конями этого уравнения являются числа x² и 2x. А что можно сказать про них как про корни квадратного уравнения?

Подсказка 4

С помощью теоремы Виета запишем условия на корни, таким образом свяжем y и x!

Показать ответ и решение

Рассмотрим функцию $f(t)= t2+ 7ty+ 2y3 2$ . При условии выполнения равенств исходной системы её корнями будут $t = x2 1$ и $t =2x 2$ . Если $t1 = t2$ , то $x1 =0,x2 = 2$ . Отсюда найдём $y1 = 0,y2 = −1$ . Если $t1 ⁄= t2$ , то по теореме Виета

3 3 3 t1⋅t2 =2y ⇐⇒ 2x = 2y ⇐ ⇒ x =y.

Подставляя в исходную систему, найдём третье решение $(− 11;− 11). 2 2$

Ответ:

$(0,0),(2,− 1),(− 11,− 11) 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#95852

Вычислите с точностью до одной десятой значение выражения

∘ -----∘------√------- 86+41 86 +41 86+ ...

Источники: Межвед - 2021, 10.7 (см. v-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Это выражение, как мы можем заметить, бесконечное по записи, а потому, например, кусок выражения после числа 41 равен всему выражению целиком.

Подсказка 2

Если так, то мы можем просто обозначить наше выражение за x и составить уравнение на эту величину!

Подсказка 3

Если наше выражение равно x, то x = sqrt(86 + 41x). Осталось лишь решить это несложное уравнение и показать, какой из корней нам подходит!

Показать ответ и решение

Пусть

∘ -----∘------√------ F = 86 +41 86+ 41 86+ ...

Тогда $F$ является положительным корнем уравнения

F2 =86+ 41F

Отсюда находим $F = 43$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

В официальных решениях на сайте олимпиады доказывается, почему выражение для $F$ определено и на самом деле является действительным числом через критерий существования предела у монотонной последовательности. Но тогда корректнее было бы переформулировать условие задачи (и в идеале ещё не давать задачу 9-классникам), а при данной формулировке получается, что достаточно показать невозможность другого значения, кроме как 43.

Ответ:

$43$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#95853

Известно, что число $cos6∘$ является корнем уравнения

5 3 √- 32t − 40t + 10t− 3= 0.

Найдите остальные четыре корня этого уравнения.

(Ответы в задаче должны быть компактными выражениями, не содержащими знаков суммирования, многоточий и т.п.)

Источники: Межвед - 2021, 11.7 (см. v-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте искать решение в виде t = cos(x). Подставим его в уравнение и попробуем преобразовать левую часть. Какими формулами можно воспользоваться, чтобы уменьшить показатели степени?

Подсказка 2

Вынесем 2cos(x) за скобки и с помощью формул понижения степени преобразуем левую часть уравнения.

Подсказка 3

После того, как мы понизим все степени до первой, можно будет преобразовать разность косинусов и раскрыть скобки!

Подсказка 4

-4sin(3x)sin(2x) + 2cos(x) = -2(cos(x) - cos(5x)) + 2cos(x). Какой вывод можно сделать из данной цепочки неравенств? Вспоминаем условие!

Подсказка 5

Найдите cos(5x), используя цепочку преобразований и правую часть!

Показать ответ и решение

Будем искать решение в виде $t= cosφ$ (на это намекнули в условии задачи). Получаем уравнение

5 3 √- 32cosφ − 40cos φ+ 10cosφ= 3.

Преобразуем его левую часть:

2 cosφ(16cos4φ − 20cos2φ +5)= [формулы понижения] = ( 2 ) = 2cosφ(4(1+cos2φ)− 10− 1)0cos2φ+ 5 = = 2cosφ 4cos22φ − 2cos2φ− 1 =2cosφ(2(1+ cos4φ)− 2cos2φ− 1) == 2cosφ(−4sin 3φ sinφ+ 1)= −4sin3φsin 2φ +2 cosφ = = −2(cosφ− cos5φ)+ 2cosφ =2cos5φ.

В итоге получили

- √3- cos5φ = 2

π 2πn φ =± 30 +-5-,n∈ ℤ

Поскольку у первоначального уравнения ровно пять действительных корней (по условию), то, чтобы их предъявить, достаточно взять какие-нибудь пять значений $φ$ , косинусы которых различны. Например,

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ φ∈ {6,78,150,222,294}

Ответ:

Остальные четыре корня имеют вид $t= cosφ$ , где $φ ∈{78∘,150∘,222∘,294∘}.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#95854

Пусть $A$ и $B$ — некоторые числовые множества, а множество $C ={a+ b|a∈ A,b∈B }$ представляет собой их сумму.

(То есть множество $C$ состоит из всевозможных сумм элементов множеств $A$ и $B$ . Если, например, $A = {0,1,2},B = {1,2}$ , то $C = {1,2,3,4}$ .)

Известно, что ${ 2828} C = 0,1,2,...,2$ , а максимальный элемент множества $A$ равен $√ - 2020 √ - 2020 ( 2+1) + ( 2− 1) .$

Докажите или опровергните следующие утверждения:

1) и множество $A$ , и множество $B$ содержат конечное число членов;

2) все элементы множеств $A$ и $B$ — целые числа;

3) минимальный элемент множества $B$ не превосходит числа $22828− 22525.$

Источники: Межвед - 2021, 11.8 (см. v-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Понятно, что первые два пункта про понимание операции сложения для множеств, а третий — про оценочки. Давайте предположим, что какое-то из множеств бесконечно. Что тогда можно сказать про сумму множеств, если мы будем даже с одним элементом из другого (возможно конечного) суммы находить?

Подсказка 2

Верно, у нас получится множество вида A + b = {a + b, a из A}, при фиксированном b множество A + b бесконечно, а поскольку оно подмножество суммы A + B, то пришли к противоречию. Теперь второй пункт. Если бы у нас был какой-то целый элемент в одном из множеств, то была бы победа, потому что надо посмотреть на сумму элемента и другого множества и кое-что понять…

Подсказка 3

Потому что сумма с ним другого множества — это подмножество C, и если хоть какой-то элемент в другом множестве был бы нецелым, то и в С содержался бы нецелый элемент. При этом, поскольку все элементы другого множества целые, то и сумма любого элемента с нашим множеством, откуда начальный целый элемент — тоже целое. Значит пункт (2) доказан по модулю того, что в одном из множеств есть целый элемент. Хмм… Ну видимо, максимальный элемент А — целый, ведь про другие элементы вообще ничего не известно. А почему максимальный элемент а — целый?

Подсказка 4

Максимальный элемент целый из того, как раскрывается бином Ньютона для таких выражений. Осталось доказать пункт (3). Нам надо доказать, что минимальный элемент не больше чего-то… Но у нас есть косвенная информация только про максимальный элемент b, поскольку именно он в сумме с максимальный элементом a, дает максимальный элемент с. Это значит, что нам надо доказать, что b ≤ 2²⁸²⁸ - 2²⁵²⁵, ведь тогда и для минимального будет выполнена эта оценка. Чему это равносильно и как это доказывать, если заметить, что 2020 = 4 * 505, а 2525 = 5 * 505?

Подсказка 5

Это равносильно тому, что a ≥ 2²⁵²⁵, в силу вышеупомянутого равенства на сумму максимальных элементов. При этом надо понимать, что в а у нас одно слагаемое вносит в рост числа куда больше чем другое, поскольку одно слагаемое — это некоторое число, меньшее 1, в огромной степени, а другое — большее 1, в огромной степени. Значит, одно из них очень маленькое и нам можно его откинуть и доказывать, что первое слагаемое больше 2²⁵²⁵. Дальше дело только за алгеброй и оценкой выражения √2.

Показать ответ и решение

1) если множество $A$ или множество $B$ бесконечно, то и множество $C$ будет бесконечно, а это не так.

Поэтому можем обозначить через $a,b,c$ максимальные элементы этих множеств соответственно и заметить для решения п.3, что $a+ b= c$ .

Отдельно отметим, что такие множества существуют: например, $A= {0,...,a},B = {0,...,c− a}$ .

2) через разложение по биному доказывается, что $a$ целое. Тогда если бы $B$ содержало нецелые, то и $C$ содержало бы нецелые. Поэтому все элементы множества $B$ целые. Отсюда аналогично получаем, что все элементы множества $A$ целые.