Тема Межвед (на базе ведомственных образовательных организаций)

Межвед - задания по годам → .05 Межвед 2023

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела межвед (на базе ведомственных образовательных организаций)

Разделы подтемы Межвед - задания по годам

Межвед до 2020

Межвед 2020

Межвед 2021

Межвед 2022

Межвед 2023

Межвед 2024

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#68093

Найдите количество целых решений уравнения

sin(π⋅log2x)+ cos(π⋅log2x)= 1

на отрезке $[1;90].$

Источники: Межвед-2023, 11.1 (см. www.academy.fsb.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Классическое уравнение на сумму синуса и косинуса, причём справа константа, сразу хочется как-то преобразовать обе части уравнения) Как?

Подсказка 2

Поделить обе части на √2, тогда сможем слева собрать в синус суммы, а справа останется константа! Остаётся лишь разобрать пару случаев)

Показать ответ и решение

Разделим обе части уравнения на $√2 :$

π π -1- sin(π ⋅log2 x)⋅cos4 + sin 4 ⋅cos(π⋅log2x)= √2

( ) sin π ⋅log2x+ π = √1- 4 2

[ π ⋅log2x+ π4 = π4 +2πn,n∈ ℤ π ⋅log2x+ π4 = 3π4 + 2πk,k ∈ℤ

[ π⋅log2x= 2πn π⋅log2x= π2 +2πk

Отсюда получаем, что $x= 22n$ или $1 x =22+2k.$ Поскольку число $1 22+2k$ не является целым, остается найти количество целых значений $n$ таких, что

1≤ 22n ≤90.

Решениями неравенства являются целые числа $0,1,2,3.$

Ответ: 4

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#68094

Решите уравнение в целых числах

x+y x y 12 ⋅3 = 3 + 3

Источники: Межвед-2023, 11.2 (см. www.academy.fsb.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть y неотрицательный. Давайте тогда попробуем сначала перенести одно из слагаемых с правой части влево и вынести за скобку общий множитель. Что тогда хочется ещё сделать? Что мы можем оценить из нашего предположения для y?

Подсказка 2

Верно, давайте сократим на 3^x и посмотрим на левую часть. Она целая, если y неотрицателен, и причём не делится на 3. Тогда что можно сказать о правой части и с чем возникает противоречие?

Подсказка 3

Да, правая тоже будет целым числом, но тогда она будет степенью тройки. Но такого быть не может! Отлично, то есть y не больше чем -1, а в силу симметрии x тоже. Давайте теперь вернёмся к исходному уравнению. Что, возможно, вам хотелось сразу сделать, но потом вы ни к чему не пришли? Как можно избавиться от степени тройки с одной стороны уравнения?

Подсказка 4

Точно, давайте теперь сократим на 3^(x+y). Тогда справа у нас останется сумма степеней троек, а слева число. Причём степени у нас будут положительные из-за ранее сделанных выводов. Осталось только оценить степени и победа!

Показать ответ и решение

Предположим, что $y ≥ 0.$ Преобразуем уравнение:

x y y 3 (12⋅3 − 1)= 3

y y−x 12⋅3 − 1 =3

Тогда, так как $y ≥ 0,$ то $12⋅3y− 1 ≥11,$ число целое и не кратно трем. Значит, $3y−x$ тоже целое, но число $12⋅3y− 1≥ 11$ не может быть степенью тройки (нулевой быть не может, так как оно больше $1,$ а ненулевой - так как оно не кратно $3).$ Таким образом, $y ≤−1.$ В силу симметрии относительно перестановки $x,y$ получим, что $x ≤−1.$ Пусть $x = −m,y = −n,n,m∈ ℕ.$ Тогда:

12⋅3−m−n = 3−m + 3−n

Домножим на $3m+n :$

12 =3n +3m

Пусть $n ≥ m.$ Если $m ≥ 2,$ то $3n +3m ≥ 9+9 =18> 12.$ Значит, $m = 1,$ тогда $n= 2.$ Получим что, $n= 2,m = 1$ или $n= 1,m = 2.$ Откуда получим ответ.

Ответ:

$(−1,−2),(−2,−1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#68095

a) Найдите многочлен наименьшей положительной степени с целыми коэффициентами, корнем которого является число $√- x0 = 5 − 1;$

б) С помощью пункта (а) найдите $f(x0),$ где

10 9 8 7 6 5 4 3 2 f(x)= x + x − 6x +4x − x − 2x + 4x +x + 3x − x

Ответ представьте в виде $a√5 +b,$ где $a$ и $b$ — целые числа.

Источники: Межвед-2023, 11.3 (см. www.academy.fsb.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас иррациональное число. Разве может оно быть корнем многочлена степени 1 с целыми коэффициентами?) А вот у многочлена степени 2?

Подсказка 2

Для второй степени придумывается пример. А вот можно сделать с пунктом б: попробуйте выделить из этого многочлена наш пример из пункта а). Так будет проще посчитать итоговый ответ.

Показать ответ и решение

а) Так как число $√5-− 1$ не рациональное число, то оно не может быть корнем многочлена степени $1$ с целыми коэффициентами, значит его степень хотя бы $2.$ Многочлен $2 g(x) =x + 2x− 4$ удовлетворяет условию задачи.

б) Заметим, что остаток $f(x)$ при делении на $g(x)$ равен $x+ 4.$ Тогда $f(x)= g(x)h(x)+ x+ 4$ для некоторого многочлена $h(x).$ Тогда

√- f(x0)=x0 +4= 5 +3.

Ответ:

$а) g(x)=x2 +2x− 4$

$√- б) 5+ 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#68096

На листе клетчатой бумаги с размером клетки $1×1$ изображен прямоугольник. Прямоугольник разбит прямыми, параллельными его сторонам на некоторое количество маленьких прямоугольников. У каждого маленького прямоугольника длины сторон выражаются целыми числами, при этом длина хотя бы одной его стороны чётна. Докажите, что длина хотя бы одной стороны исходного прямоугольника также является чётным числом.

Источники: Межвед-2023, 11.4 (см. www.academy.fsb.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подумайте про площадь этого прямоугольника. Он ведь у нас разбит на маленькие прямоугольнички, у которого стороны целые, и одна из них четная....

Подсказка 2

Площадь маленьких прямоугольников - чётная, значит, и большого - чётная)

Показать доказательство

Заметим, что площадь прямоугольника равна сумме площадей прямоугольников разбиения. Так как у каждого маленького прямоугольника длины сторон выражаются целыми числами, при этом длина хотя бы одной его стороны чётна, то эта площадь четна. Тогда длина хотя бы одной стороны исходного прямоугольника также является чётным числом (иначе площадь была бы нечетной).

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#68097

Существуют ли такие функции $f(x,y)$ и $g(x,z),$ что для любых действительных $x,y,z$ выполняется равенство

f(x,y)− g(x,z)=|y− z|?

Ответ обоснуйте.

Источники: Межвед-2023, 11.5 (см. www.academy.fsb.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала заметим, что в левой части функции f и g принимают в себя переменную x, а правая часть от икса не зависит. Это значит, что можно выбрать любой икс (например, x = 0) и рассматривать новые функции (F(y) и G(z)) уже от одной переменной

Подсказка 2

Не всегда функции, которые принимают в себя переменную, зависят от неё. Подумайте, могут ли наши новые функции быть константами?

Подсказка 3

Хотя бы одна из функций уж точно не является константой! Не умаляя общности, можно считать что это G(z). Тогда существуют такие различные z1 и z2, что G(z1) != G(z2). Подставив z1 и z2, получим, что F(y) = G(z1) + |y-z1| и F(y) = G(z2) + |y-z2|. Может ли это быть правдой?

Подсказка 4

Мы получаем, что |y-z1| - |y-z2| = G(z2)- G(z1). Но ведь правая часть это просто некая константа. Выполняется ли это равенство ДЛЯ ЛЮБОГО y?

Показать ответ и решение

Предположим, что существуют.

Обозначим

f(0,y)= F(y),g(0,z)= G(z)

Тогда из условия получаем

F(y)− G(z)= |y− z|

Если обе функции являются константами, то левая часть равенства является константой, а в правой можно получать разные значения при разных $y,z.$

Тогда хотя бы одна из функций не равна тождественно константе, пусть это $G(z).$ То есть существуют такие $z1 ⁄= z2,$ что $G (z1)⁄=G (z2).$

Подставляем в уравнение:

F (y)= G(z1)+ |y − z1|,F(y)=G (z2)+|y− z2|

Получаем

|y− z |− |y− z|= G(z)− G(z) 1 2 2 1

При $y = z1$ имеем

−|z1− z2|= G(z2)− G(z1)

При $y = z2$ имеем

|z1− z2|=G (z2)− G(z1)

Получается, что

− (G(z2)− G(z1))=G (z2)− G (z1) =⇒ G (z2)= G(z1)

Противоречие с тем, что $G (z1)⁄= G(z2).$

Следовательно, таких функций не существует.

Ответ: нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#68098

В Криптоландии в тире действуют следующие правила. Перед началом стрельбы стрелок приобретает 100 патронов. На мишени нарисованы три концентрические окружности радиусов 3, 6 и 12 сантиметров. За попадание в круг, ограниченный первой из них, даётся 3 очка и 4 дополнительных патрона. За попадание в кольцевую область между первой и второй окружностями даётся 2 очка и 3 дополнительных патрона. За попадание в зону между второй и третьей окружностями даётся одно очко и 2 дополнительных патрона. Если стрелок не попал в мишень, то ни очков, ни дополнительных патронов он не получает. Считаем, что в границы кругов стрелок не попадает. Стрельба заканчивается, когда у стрелка не остаётся ни одного патрона. Юра пошёл в тир и завершил стрельбу, допустив 2023 промаха. Сколько очков набрал Юра?

Источники: Межвед-2023, 11.6 (см. www.academy.fsb.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обозначим кол-во выстрелов, за которые мы получили 1, 2 или 3 очка, за x, y и z соответственно. Тогда сколько всего выстрелов мы сделали?

Подсказка 2

2023 + x + y + z. А теперь попробуйте по-другому посчитать кол-во выстрелов, исходя из того, что за один из выстрелов мы получаем 3 дополнительных, за другой - 4, и за третий - 5, а в начале у нас было 100 патронов.

Подсказка 3

Еще поймите, что кол-во очков, набранных им - это x+2y+3z)

Показать ответ и решение

Первое решение.

Заметим, что за каждый неудачный выстрел стрелок просто теряет один патрон, а за каждый удачный выстрел получает патронов на один больше, чем очков, но при этом теряет один патрон за этот выстрел. Получается, что очков суммарно получено столько же, сколько получено дополнительных патронов.

Так как стрелок промахнулся 2023 раза, то он получил $2023− 100= 1923$ дополнительных патрона. Столько он получил и очков.

Второе решение.

Пусть $n1,n2,n3−$ числа выстрелов, результатом которых было получение $1,2$ и $3$ очков соответственно. Тогда общее число выстрелов $m$ равно:

m = 2023+ n1+ n2+ n3.

Каждый выстрел приносит такие очки: $0,1,2,3.$ При этом с каждым результатом связано определённое число выстрелов, а именно:

1.: Если был промах, то этот результат не даёт дополнительных выстрелов, и с ним связан единственный выстрел, который и дал промах.
2.: Если было получено одно очко, то с этим результатом связано $3$ выстрела, а именно, тот, который дал этот результат, и плюс два дополнительных премиальных.
3.: Если было получено $2$ очка, то с этим результатом связано $4$ выстрела: один — который дал результат, и $3$ премиальных.
4.: Если было получено $3$ очка, то с этим результатом связано $5$ выстрелов (аналогичные рассуждения: один исходный $+ 4$ премиальных).

Тогда рассмотрим сумму:

2023 ⋅1 +n1⋅3+ n2⋅4+ n3⋅5+100

Заметим, что в этой сумме каждый выстрел учтен ровно два раза, тогда:

2023⋅1+n1 ⋅3 +n2⋅4+ n3⋅5+ 100 =2⋅m

n1+ 2n2+ 3n3 =2023− 100= 1923.

Заметим, что это выражение - количество набранных Юрой очков.

Ответ: 1923

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#68099

Обозначим

a= 3481,b= 4120,N = 26069

Известно, что остаток от деления числа $b2$ на $N$ равен $a.$ Найдите разложение числа $N$ на простые множители.

Источники: Межвед-2023, 11.7 (см. www.academy.fsb.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Каким-то образом у нас в условии есть утверждение про квадрат, а числа у нас какие-то странные…быть может, поискать какие-то свойства у них?

Подсказка 2

Число а - квадрат! Тогда мы можем записать условие на остаток от деления на N и выполнить некоторые преобразования, чтобы понять, какие числа имеют с N общие делители.

Подсказка 3

Оказывается, (b-59)(b+59) делится на N! Тогда хотя бы одна из этих скобок имеет с N общие множители, а, значит, мы можем найти их НОД с N) Как это сделать?

Подсказка 4

По алгоритму Евклида находим НОД((b-59), N), остаётся лишь понять, а на что ещё делится N?)

Показать ответ и решение

Первое решение.

Заметим, что $26069= 131⋅199.$ Далее проверкой до целой части от соответствующего арифметического корня проверяем оба множителя на простоту. Разложение получено.

Второе решение.

Заметим, что $2 a= 59.$ Тогда

b2 ≡N 592

(b− 59)(b+ 59)≡N 0.

Следовательно, пары чисел $(b− 59) и N$ или $(b+ 59) и N$ имеют общие делители, отличные от 1. Найдём наибольший общий делитель чисел $(b+59) и N$ по алгоритму Евклида:

26069= 6⋅4179+ 995

4179= 4⋅995 +199

995= 5⋅199

Следовательно, $НОД((b+59),N )=199$ — простое число. Остаётся разделить $N$ на $199.$

Ответ:

$131⋅199$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#68100

Из центра $O$ сферы радиуса $R$ проведены три луча, пересекающие сферу в точках $A,B$ и $C.$ Известно, что $∠AOB =∠AOC =∠BOC =60∘.$ Найдите площадь части сферы, ограниченной плоскостями $(AOB ),(AOC)$ и $(BOC).$

Источники: Межвед-2023, 11.8 (см. www.academy.fsb.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Рассмотрите сначала две различные плоскости, проходящие через центр сферы. Пусть угол между этими плоскостями равен φ. Плоскости пересекают сферу по большим окружностям. На их пересечении получается криволинейный треугольник. Выразите его площадь через радиус и угол!

Подсказка 2

Три плоскости (содержащие грани трехгранного угла) разбивают сферу на 8 криволинейных треугольников. Искомую площадь криволинейного треугольника ABC обозначим через S, а его углы (которые, очевидно, являются двугранными углами трехгранного угла OABC ) за φ, ψ, θ. Примените формулу для площади криволинейного треугольника с углами φ, ψ, θ.

Подсказка 3

Примените теорему косинусов для трехгранного угла!

Показать ответ и решение

В задаче речь идет о трехгранном угле с вершиной в центре сферы, высекающем на сфере криволинейный треугольник. Площадь этого треугольника требуется выразить через радиус сферы и данные в условии плоские углы трехгранного угла, которые будем обозначать $∠AOB =α,∠AOC = β,∠BOC = γ.$

Рассмотрим сначала две различные плоскости, проходящие через центр сферы. Пусть угол между этими плоскостями равен $φ.$ Плоскости пересекают сферу по большим окружностям. Касательные к окружностям в их точке пересечения также образуют угол $φ.$ Площадь поверхности сферы равна $2 4πR .$ Площадь высекаемой плоскостями «дольки» (указанной на рисунке цветом) очевидно пропорциональна величине $φ$ и равна $2 φ- 2 4πR ⋅2π = 2R φ.$

$PIC$

Три плоскости (содержащие грани трехгранного угла) разбивают сферу на $8$ треугольников. Искомую площадь криволинейного треугольника $ABC$ обозначим через $S,$ а его углы (которые, очевидно, являются двугранными углами трехгранного угла $OABC )$ за $φ,ψ,𝜃.$ Площади криволинейных треугольников, примыкающих к сторонам треугольника $ABC,$ обозначим $Sφ,Sψ,S𝜃.$ С каждым из этих треугольников $ABC$ образует «дольку», поэтому $S +Sφ =2R2φ,S+ Sψ =2R2ψ,S+ S𝜃 = 2R2𝜃.$ Оставшиеся из $4$ -х нерассмотренных криволинейных треугольников симметричны $4$ -м рассмотренным относительно центра сферы. Значит, суммарная площадь рассматриваемых четырех треугольников равна половине площади сферы, то есть $S +Sφ +Sψ +S𝜃 =2πR2.$ Тогда сложим первые три уравнения и воспользуемся четвертым: