Тема ШВБ - задания по годам

ШВБ 2023

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела швб - задания по годам

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#69234

Докажите, что многочлен $P(t)=t3− 2t2− 10t− 3$ имеет три различных действительных корня. Найдите многочлен $R(t)$ третьей степени с корнями $2 2 2 2 22 u = xy z,v =x z y,w = yz x,$ где $x,y,z$ — различные корни многочлена $P (t).$

Источники: ШВБ-2023, 11.1 (см. olymp.bmstu.ru)

Показать ответ и решение

Поскольку $P(−3)=− 18< 0,$ а $P(−1)=4 >0,$ то по теореме о промежуточном значении между $− 3$ и $− 1$ есть корень этого многочлена. $P(−1)=4 >0,$ $P (0)= −3< 0,$ значит, между $− 1$ и $0$ у многочлена есть корень. $P (0)= −3< 0,$ $P(5)=22> 0,$ значит, между $0$ и $5$ у многочлена есть корень. Получили, что у многочлена есть три различных (потому что каждый находится в своем интервале) действительных корня.

Из теоремы Виета для данного многочлена имеем:

x+y +z =2, xy+ yz+ zx= −10, xyz = 3

Тогда можно через теорему Виета для $R(t)$ найти его коэффициенты:

u+ v+ w= xyz(xy+ yz+zx)= 3⋅(−10) =− 30

uv+ vw+ wu =x3y3z3(x+ y+ z)=33⋅2= 54

uvw =x5y5z5 = 35 =243

Отсюда $R(t)= t3+30t2+54t− 243.$

Ответ:

$R(t)=t3+ 30t2+ 54t− 243$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#69235

Имеется одна подключенная к сети электрическая розетка, два удлинителя на три розетки каждый и одна настольная лампа в комплекте. Незнайка случайным образом воткнул все три вилки в 3 из 7 розеток. С какой вероятностью загорится лампа?

Источники: ШВБ-2023, 11.2 (см. olymp.bmstu.ru)

Показать ответ и решение

Число равновероятных исходов втыкания 3-х вилок в 7 розеток равно $7⋅6⋅5= 210.$ Понятно, что благоприятные исходы, в которых загорелась лампа, можно разбить на три случая: лампа питается напрямую через розетку, лампа питается через 1 удлинитель, лампа питается через 2 удлинителя. Рассмотрим каждый случай отдельно:

1) Лампа питается напрямую через розетку. Т.е. лампа включена в розетку, а другие 2 вилки — в любые 2 из оставшихся 6 разъёмов удлинителей. Значит, число таких благоприятный исходов $6⋅5= 30.$

2) Лампа питается через 1 удлинитель. Т.е. лампа включена в один из 6 разъёмов удлинителей, соединённый с ней удлинитель включен в розетку, а другой — в любой из 5 оставшихся разъёмов удлинителей. Значит, число таких благоприятный исходов $6⋅5= 30.$

3) Лампа питается через 2 удлинителя. Т.е. лампа включена в один из 6 разъёмов удлинителей, соединённый с ней удлинитель включен в один из 3 разъёмов другого удлинителя, а тот — в розетку. Значит, число таких благоприятный исходов $6⋅3= 18.$

В итоге общее количество благоприятных исходов равно $30+ 30+18 =78$ . Следовательно, вероятность того, что лампа загорит, равна $27180 = 1335.$

Ответ:

$13 35$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#69236

Биссектрисы $AA ,BB ,CC 1 1 1$ внешних углов треугольника $ABC$ пересекают продолжения противоположных сторон треугольника в точках $A1,B1,C1$ соответственно. Найдите угол $A1C1B1$ и длину отрезка $A1B1,$ если $AC = 5,BC = 2,$ а угол $ACB$ равен $13 arccos20.$

Источники: ШВБ - 2023, 11 (см. olymp.bmstu.ru)

Показать ответ и решение

Обозначим $AC = b=5,BC = a= 2,AB = c,γ =∠ACB =arccos13. 20$

Треугольники $AA1B$ и $AA1C$ имеют общую высоту из общей вершины $A,$ следовательно, можем записать следующие соотношения для их площадей

SAA1B BA1 SAA1C-= CA1-

(1)

Пусть $A1D$ — перпендикуляр из $A1$ к прямой $AC,$ $A1E$ — перпендикуляр из $A1$ к прямой $AB.$ Так как $AA1$ — биссектриса $∠DAE,$ значит, точка $A1$ равноудалена от прямых $AC$ и $AB.$ Следовательно, $A1D = A1E.$ Благодаря этому получаем

SAA1B-= AB-⋅A1E-= c SAA1C AC ⋅A1D b

(2)

Из соотношений (1) и (2) следует, что

BA1- c CA1 = b

Аналогично получаем

BC1- a AB1- c AC1 = b и CB1 = a

Тогда

BA1 CB1 AC1 c a b CA1-⋅AB1-⋅BC1-= b ⋅c ⋅a = 1

Значит, по теореме Менелая точки $A1,B1,C1$ лежат на одной прямой. Т.е. $∠A1C1B1 =180∘$ и $A1B1 = A1C1+ C1B1.$

$PIC$

По теореме косинусов найдём $AB = c$

2 2 2 c = a +b − 2abcosγ = 4+ 25− 13= 16⇒ c= 4

Теперь найдём $BA1$

BA1- c 4 --BA1--- 4 -BA1--- 4 CA1 = b = 5 ⇒ BC +BA1 = 5 ⇒ 2+ BA1 = 5 ⇒ BA1 = 8

Аналогично получаем $8 BC1 = 3$ и $CB1 =5.$ Обозначим $α= ∠BAC,$ $β = ∠ABC.$ Получим значения $cosα$ и $cosβ$ из двух теорем косинусов

2 2 2 cosα = c+-b-−-a-= 16+25−-4= 37 2bc 40 40

cosβ = c2+a2−-b2= 16+-4−-25-= − 5 2ca 16 16

Запишем теорему косинусов в $△AC1B1$

2 2 2 400- 200- 37 190 C1B1 =AC 1 + AB1 − 2cosα ⋅AC1⋅AB1 = 9 +100− 2⋅ 3 ⋅40 = 9

√190 C1B1 = -3--

Углы $A1BC1$ и $ABC$ равны как вертикальные. Запишем теорему косинусов в $△A1BC1$

2 2 2 64- 64- 5- 4⋅190 A1C1 = BA1+ BC1 − 2cosβ⋅BA1⋅BC1 = 64 + 9 +2 ⋅3 ⋅16 = 9

2√190 A1C1 =--3--

Следовательно,

--- A1B1 = A1C1+ C1B1 = √190

Ответ:

$180∘;√190$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#69289

Найдите все значения параметра $a,$ при которых система

(| y = |a− 3|x+ 1|+ x+ 3|+ 3|x +1|, |||{ ( ) ( ) | 22−y log√3 (x +|a+ 2x|)2 − 6(x+ 1+ |a+ 2x|)+ 16 +2x+|a+2x|log1∕3 y2+1 = 0, |||( x+ |a+ 2x|≤3,

имеет единственное решение $(x;y),$ где $x,y$ — целые числа. Укажите это решение при каждом из найденных $a.$

Источники: ШВБ-2023, 11.4 (см. olymp.bmstu.ru)

Показать ответ и решение

Преобразуем второе уравнение системы следующим образом:

3−y ( 2 ) x+|a+2x| 2 2 log3(x+ |a +2x|) − 6(x+ |a+2x|)+9+ 1 − 2 log3(y + 1)=0

3−y ( 2 ) x+|a+2x| 2 2 log3 (x+|a+ 2x|− 3)+ 1 = 2 log3(y +1)

3−x−|a+2x| ( 2 ) y 2 2 log3 (x+ |a+ 2x|− 3) +1 = 2 log3(y +1)

Из первого уравнения системы следует, что $y ≥ 0.$ Из третьего уравнения системы $3− x − |a+ 2x|≥ 0.$

Введём функцию

t 2 f(t)= 2 log3(t + 1)

Она является произведением строго возрастающих функций при $t ≥0.$ Значит, тоже является строго возрастающей функцией при $t≥ 0.$ Значит, она имеет свойство:

f(a)= f(b)⇔ a= b

Запишем преобразованное уравнение, используя обозначение $f(t),$

f(3− x− |a+ 2x|)= f(y)

Следовательно, по свойству оно равносильно

3 − x− |a+2x|= y

Подставляя получившиеся выражение в первое уравнение системы, получим

3− x− |a+ 2x|= |a − 3|x+1|+ x+ 3|+ 3|x+ 1|

|a− 3|x +1|+x +3|+ |a+ 2x|= 3− x− 3|x+ 1|

Обозначим $u =a − 3|x +1|+ x+3,v = a+ 2x.$ Тогда исходное уравнение будет иметь вид

|u|+ |v|=u − v

Решениями последнего уравнения являются все $u$ и $v$ такие, что

{ u≥ 0 v ≤ 0

{ a− 3|x+ 1|+ x+ 3≥ 0 a+2x ≤0

Отсюда имеем

3|x+ 1|− x − 3≤ a≤ −2x

В системе $Oxa$ построим графики функций

a =3|x+ 1|− x− 3 и a= −2x

$PIC$

Из графиков понимаем, чтобы выполнялось ранее получившиеся двойное неравенство, точка $(x,a)$ должна лежать в закрашенной области.

Заметим, что если $x$ — целое число, то

y = |a − 3|x +1|+ x+3|+ 3|x+ 1|

будет целым, если $a$ целое. Поэтому нам остаётся отобрать только такие целые $a,$ для которых будет только один такой целый $x,$ что точка $(x,a)$ лежит в закрашенной зоне на графике:

При $a= −2$ имеем решение $x= −1,y =0;$

При $a= −1$ имеем решение $x= −1,y =1;$

При $a= 1$ имеем решение $x =− 1,y = 3;$

При $a= 3$ имеем решение $x =− 2,y = 4;$

При $a= 4$ имеем решение $x =− 2,y = 5;$

При $a= 6$ имеем решение $x =− 3,y = 6.$

Ответ:

$a =− 2,x= −1,y = 0;$

$a= −1,x =− 1,y =1;$

$a= 1,x= −1,y = 3;$

$a= 3,x= −2,y = 4;$

$a= 4,x= −2,y = 5;$

$a= 6,x= −3,y = 6.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#69311

Найдите площадь сечения правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$ плоскостью, проходящей через вершину $F$ основания $ABCDEF$ и параллельной медиане $CM$ боковой грани $SCD$ и апофеме $SN$ боковой грани $SAF,$ если сторона основания пирамиды равна $√- 4 7,$ а расстояние от вершины $S$ до секущей плоскости равно $√- 7.$

Источники: ШВБ-2023, 11.6 (см. olymp.bmstu.ru)

Показать ответ и решение

$PIC$

Построим сечение пирамиды. В плоскости $SCD$ через точку $S$ проведем прямую $SQ,$ параллельную $CM,$ $Q$ принадлежит прямой $CD.$ Тогда $CM$ будет средней линией треугольника $SQD,$ следовательно, $QC = CD = a,$ где $a$ — сторона основания пирамиды.

Плоскость $SNQ$ содержит прямые $SN$ и $SQ,$ которые параллельны плоскости сечения, следовательно, по признаку плоскость $SNQ$ параллельна плоскости сечения.

Через точку $F$ проведем прямую $FV,$ параллельную $NQ,$ где $V$ принадлежит прямой $CQ.$ Т.к. $AF ∥CD$ и $NQ ∥F V,$ значит, $NF VQ$ — параллелограмм, следовательно, $NF = QV.$ Учитывая, что $N$ — середина $AF,$ а также $V C = QC − QV =a − QV,$ можем сказать, что $QV = VC =a∕2.$

Пусть $R$ — точка пересечения прямых $FV$ и $BC.$ Плоскость сечения пересекает основание пирамиды по отрезку $FR.$

Пусть $O1$ — точка пересечения $NQ$ и $AD.$ Заметим, что углы $AO1N$ И $DO1Q$ равны как вертикальные, а углы $NAO1$ и $O1DQ$ как накрестлежащие при параллельных прямых $AF$ и $CD$ и секущей $AD.$ Следовательно, треугольники $AO1N$ и $DO1Q$ подобны, поэтому

AO1-= AN-= a∕2= 1 O1D QD 2a 4

Т.к. $ABCDEF$ является правильным шестиугольником, значит, $AD = 2a.$ Учитывая, что $AO1 :O1D =1 :4,$ получаем, что $AO1 = 2a∕5.$ Т.к. $AD ∥BC$ и $AF ∥ CD,$ углы $RCV$ и $O1AN$ равны, аналогично, т.к. $AF ∥CD$ и $FV ∥NQ,$ углы $RV C$ и $O1NA$ равны, а также $AN = VC =a∕2,$ следовательно, треугольники $RCV$ и $O1AN$ равны, поэтому $RC = AO1 =2a∕5.$

Пусть точка $Z$ — точка пересечения прямых $RF$ и $DE,$ а точка $T$ — точка пересечения прямых $BC$ и $DE.$ Из-за того, что $ABCDEF$ — правильный шестиугольник, можно сделать вывод, что $CT =DT = a.$ Т.к. $F E ∥ BC,$ треугольники $FZE$ и $RZT$ подобны, поэтому

ZZET-= ZEZE+2a-= FRET-= 2a∕a5+-a-= 57 ⇒ ZE = 5a

В плоскости $SCD$ через точку $V$ проведем прямую $V K,$ параллельную $CM,$ $K$ принадлежит ребру $SD,$ $L$ — точка пересечения прямой $V K$ с ребром $SC.$ $CM, VK,SQ$ параллельны друг другу, поэтому по теореме Фалеса имеем

SK :KM :MD = QV :V C :CD = 1:1 :2 ⇒ SK-= 1 и SK-= 1 KM KD 3

SL-= SK--=1 LC KM

В плоскости $SDE$ точка $P$ — точка пересечения прямых $ZK$ и $SE.$ Запишем теорему Менелая для треугольника $SDE$ и секущей $KZ$

DK- SP- EZ- KS ⋅PE ⋅ZD = 1

SP 5 3⋅ PE-⋅6 = 1

SP- 2 PE = 5

Искомое сечение - это $KLRF P.$ Для нахождения площади сечения используем формулу

Sпр Sсеч = cosφ,

где $Sпр$ — площадь проекции сечения на плоскость основания, $φ$ — угол между плоскостью сечения и плоскостью основания. Найдем площадь проекции сечения на плоскость основания.

$PIC$

Проекцией является пятиугольник $FXHGR.$ Площадь проекции сечения вычисляется по формуле

Sпр = SFRG +SOGH + SOHX +SOXF

√- √- √- √- √- Sпр = a2-3− 2 ⋅ 1⋅ a2-3+ 1 ⋅ 1⋅ a2-3 + 1 ⋅ 2⋅ a2-3 + 2⋅ a2-3 5 5 2 4 2 4 4 4 7 4 7 4

303a2√3 303√3- Sпр =-35⋅32-= -10--

Обозначим расстояние от точки $S$ до плоскости сечения $d,$ $√- d= 7.$ Т.к. точка $L,$ принадлежащая плоскости сечения является серединой $SC,$ расстояние от точки $C$ до сечения тоже равно $d.$ В треугольнике $RCV$ проведем высоту $CU,$ обозначим ее длину $h.$ Тогда

∘---(-)-- sinφ= d ⇒ cosφ = 1− d 2 h h

Т.к. $ABCDEF$ — правильный, $∘ ∠RCV = 60 .$ Тогда найдем $RV$ по теореме косинусов:

4a2 a2 a2 21a2 √21a RV 2 =-25-+ -4 −-5 =-100 ⇒ RV =--10-

Используя различные формулы для нахождения площади треугольника $RCV,$ имеем

√-- √- -21ah= a2 ⋅-3⇒ h= a√-- 10 5 2 7

Тогда

∘ ---7d2- 3 cosφ= 1− a2-= 4

Окончательно имеем

√- 303-3 √- Sсеч =--10--= 202-3- 3 5 4

Ответ:

$202√3 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#69312

Во всем мире популярна игра в хоккей. Многое в игре зависит от вратаря. Для отработки навыков вратарей и обеспечения тренировочного процесса, который бы не зависел от других игроков, создали шайбомет. Автомат можно настроить так, чтобы он выбрасывал шайбы с заданной временной частотой, скоростью и под определенным углом.

Пусть линия ворот находится на расстоянии 25 м от центральной точки $O$ хоккейной площадки. Автомат установлен на расстоянии $d =16$ м от точки $O$ по направлению к воротам, скорость выброса шайбы равна $V0 = 20$ м/c. Броски производятся в плоскости, перпендикулярной поверхности льда и линии ворот. При этом для обеспечения безопасности траектория вылетающих шайб должна, с одной стороны, находиться не выше прямой линии, соединяющей центр ледовой площадки $O$ с точкой, находящейся в плоскости полета шайб, в плоскости ворот, и на расстоянии одного метра от поверхности льда, а с другой стороны — должна пересекать плоскость ворот по нисходящей ветви траектории.

$PIC$

Определите максимально возможное значение тангенса угла, под которым могут вылетать шайбы из шайбомета, если траектория движения шайбы, рассматриваемой как материальная точка, в плоскости ее полета в системе координат с центром в $O$ и осью абсцисс, направленной вдоль поверхности льда, описывается уравнениями

({ x =d +V0tcosα ( gt2 y =V0tsinα − 2

Для упрощения вычислений можно считать, что ускорение свободного падения $g = 10$ м/c $2 .$

Источники: ШВБ-2023, 11.6 (см. olymp.bmstu.ru)

Показать ответ и решение

Введем систему координат с центром в точке $O.$ Ось абсцисс направим к линии ворот.

Выразим время из первого уравнения системы и подставим во второе

( x − d )2 V0(x− d) g V0cosα g( x − d )2 y(x)= -V0cosα-sin α− -----2-----= (x− d)tgα − 2 V0cosα

2 y(x)=(x− d)tgα − g⋅ (x−2d)-⋅(1+ tg2α) 2 V0

Чтобы шайба была ниже условной линии для любого значения $x,$ требуется выполнение условия

x-≥ y(x) 25

x 25 − y(x)≥ 0

для любого $x ∈[16;25].$ Поскольку траектория вылетающих шайб должна пересекать плоскость ворот по нисходящей ветви траектории, то неравенство

2 -x − (x− d)tgα + g⋅ (x−2d)-⋅(1+ tg2α)≥ 0 25 2 V0

должно выполняться для всех $x.$

Перепишем неравенство в более удобном виде и учтем, что выполнение этого неравенства возможно лишь при неположительном дискриминанте.

g (x-− d)2 2 ( 1-) -d 2 ⋅ V20 ⋅(1+tg α)− (x− d) tgα− 25 + 25 ≥ 0

( )2 D = tgα −-1 − 4⋅-d ⋅ g⋅-12-⋅(1+ tg2α)≤0 25 25 2 V0

Подставляем $g = 10$ м/c $2$

( 1 )2 4d 2 tgα − 25 − 5V20 (1+tg α)≤ 0

′ ( ) ( )( ) D-= -1 − 1 −-4d2 -12 −-4d2 4 25 5V0 25 5V0

D′ -4d 1-- 4d-( -4d) 4d- 626 (-4d )2 4 = 5V20 ⋅252 + 5V02 1− 5V20 = 5V20 ⋅625 − 5V02

Подставляем $d= 16$ м, $V0 = 20$ м/с

( )2 ( ) D′ = 4⋅16-⋅ 626-− 4⋅16- = --4--- 626-− 4 = -4⋅606⋅2-- 4 5⋅400 625 5⋅400 25 ⋅252 5 252 ⋅25⋅5⋅2

Теперь посчитаем сам $tgα$

( 1 2 ∘ 1212) ( 121) 5± 2√121,2 tgα= 25 ±25⋅5 -10- ∕ 125- = ---121---

Значит, максимально возможное значение $tg α$ равно $√---- 5+2121121,2.$

Ответ:

$5-+2√121,2 121$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#77774

Последовательность Фибоначчи задана рекуррентно $a = a = 1,a = a + a ,n≥ 2 1 2 n+1 n n−1$ . С каким остатком число 3 в степени $a 2022$ делится на 13?

Показать ответ и решение

Чтобы найти остаток при делении $3n$ на $13,$ достаточно знать остаток при делении на $3,$ потому что

3 3k+r r 3 = 27≡ 1(mod 13)⇒ 3 ≡ 3 (mod 13).

По индукции доказывается, что остатки при делении чисел Фибоначчи на $3$ повторяются с периодом $8:$

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10...

ak 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55...

ak(mod 3) 1 1 2 0 2 2 1 0 1 1...

Поскольку $2022$ делится на $8$ с остатком $6,$ имеем

3a2022 ≡ 3a6 =38 ≡ 32 = 9(mod 13).

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#85347

При каких значениях параметра $a$ уравнение

|x − 2+ |2x +2||= a

имеет нечетное количество решений?

Показать ответ и решение

Построим график функции $f(x)=x − 2+ |2x +2|$ , а затем отразим относительно оси абцисс часть графика, лежащую в $3$ и $4$ четвертях. Раскроем внутренний модуль: