Тема Газпром - задания по годам

Газпром 2023

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела газпром - задания по годам

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#99218

Найти

a12+-4096 64a6 ,

если

a 2 2 − a =5.

Источники: Газпром - 2023, 11.1 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В числителе нашей дроби стоит сумма, тогда давайте попробуем записать всю дробь в виде суммы дробей, поделив каждое слагаемое на знаменатель. Получим очень знакомое выражение! Причём оба слагаемых — квадраты. А что можно сделать, когда видишь сумму квадратов?

Подсказка 2

Выделить квадрат разности! Для этого нужно всего лишь прибавить и вычесть двойку. И теперь под скобками в этом выражении оказалась уже разность кубов. Проделываем схожие махинации, чтобы выделить куб разности и получаем известное нам из условия выражение.

Показать ответ и решение

a12+ 4096 a6 64 a6 64 --64a6---= 64 + a6 = 64 − 2+ a6 + 2= (a3 8)2 ( a3 a 2 8 ( a 2))2 = -8 −a3 +2 = 8-− 3⋅2 + 3⋅a − a3 +3 2 − a +2= (( )3 ( ))2 ( ) = a2 − 2a +3 a2 − 2a +2 = 53+ 3⋅52+ 2= 19602.

Ответ:

$19602$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#99219

Окружность касается продолжений двух сторон $AB$ и $AD$ квадрата $ABCD$ со стороной $∘2-+-√2$ см. Из точки $C$ к этой окружности проведены две касательные. Найти радиус окружности, если угол между касательными равен $∘ 45,$ и известно, что $∘ √2−√2 sin22,5 = 2$

Источники: Газпром - 2023, 11.2 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Понятно, что думать в таких задачах не особо приходится — только думать, как бы побыстрее посчитать. Почему задача сводится к счёту? Потому что самыми школьными методами мы можем вычислить абсолютно всё на картинке, так как понятно вычисляются углы и есть сторона. Что можно сказать про отрезок OC, где O — центр окружности, если мы знаем, что она вписана в прямой угол?

Подсказка 2

Получаем, что расстояние от точки касания продолжения стороны до вершины A равно радиусу. Это значит, что нам известен отрезок OC, если мы обозначили радиус за R. Какое тогда уравнение можно составить на OC, чтобы выразить его по-другому, если мы ещё не использовали вторую точку касания?

Подсказка 3

Можно сказать, что OC * sin(45/2) = OK, где K — точка касания касательной из точки C. При этом OK = R. Значит, мы составили уравнение на R, а потому получили ответ. Осталось понять, что наша картинка, по данному условию была единственной. А вообще так ли это? Правда ли, что то, как мы нарисовали касание окружности продолжений AB и AD — это единственный возможный случай?

Показать ответ и решение

$PIC$

Отрезок, который отсекается от вершины $A$ точкой касания окружности, равен радиусу этой окружности. Диагональ $AC$ квадрата $ABCD$ равна $∘----√- 4 +2 2.$ Если провести радиусы окружности в точки касания, то получится квадрат, со стороной $R.$ Тогда

OA = R√2-

OK 2R OC = sin-22,5∘ = ∘---√-- 2 − 2

В результате получаем

∘------ ∘-2R---=R √2+ 4 +2√2, 2− √2

откуда

∘4-+2√2⋅∘2-−-√2 R = --2− √2-∘2−-√2--=

∘------∘ ----- -2-+√-2⋅-2−-√2- √ - ∘---√- = √2− ∘2− √2 = 2+ 2− 2

Ответ:

$√2-+∘2-−-√2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#99220

Решить систему уравнений:

( x2+ 25y+ 19z = −471 |{ 2 |( y2+23x+ 21z = −397 z +21x+ 21y = −545

Источники: Газпром - 2023, 11.3 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Не совсем понятно, как работать с уравнениями по отдельности, поэтому попробуем их как-то связать. Что можно сказать о коэффциеинтах при каждой переменной?

Подсказка 2

Все коэффициенты нечётны, так что просто выделить полный квадрат вряд ли получится (и будет полезным). Но что можно сделать, чтобы всё-таки их собрать?

Подсказка 3

Сложите три уравнения! Тогда в выражении у нас будут и удвоенные произведения, и квадраты!

Показать ответ и решение

Прибавим к первому уравнению два других и выделим полные квадраты по каждой переменной:

2 2 2 x + y +z + 44x+46y+ 40z =− 1413

2 2 2 x + 44x+y + 46y+ z+ 40z+ 1413= 0

x2+ 44x+484+ y2+46y+ 529+z2+ 40z+400= 0

(x+ 22)2+ (y +23)2 +(z+ 20)2 = 0

Следовательно, $x= −22,y =− 23,z = −20−$ единственное возможное решение. Проверим это подстановкой в уравнения системы:

( |{ (− 22)2+ 25⋅(−23)+ 19 ⋅(−20)= 484 − 575− 380= −471 | (− 23)2+ 23⋅(−22)+ 21 ⋅(−20)= 529 − 506− 420= −397, ( (− 20)2+ 21⋅(−22)+ 21 ⋅(−23)= 400 − 462− 483= −545.

Ответ:

$(−22;− 23;−20)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#99229

Для охраны нефтяной платформы, расположенной в море, необходимо распределить вокруг неё $5$ радаров, покрытие каждого из которых составляет круг радиуса $r= 13$ км. Определить, на каком максимальном расстоянии от центра платформы их нужно расположить, чтобы обеспечить вокруг платформы покрытие радарами кольца шириной $10$ км. Вычислить площадь этого кольца покрытия.

Источники: Газпром - 2023, 11.4 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала представим: а как это вообще выглядит? Попробуем свести задачу к геометрической! Если центр платформы — это точка, то как будут располагаться радары?

Подсказка 2

Верно, радары должны быть в вершинах правильного пятиугольника, центр которого совпадает с центром платформы. Радиус окружности, описанной около этого пятиугольника — это искомое расстояние.

Подсказка 3

Чтобы дорешать задачу, рассмотрим треугольник, образованный центром платформы и двумя соседними радарами, и воспользуйтесь теоремой Пифагора и теоремой синусов!

Показать ответ и решение

Чтобы обеспечить покрытие радарами кольца вокруг платформы необходимо расположить их в вершинах правильного многоугольника, центр которого совпадает с центром платформы.

$PIC$

Точка $O$ — центр нефтяной платформы, а точки $A$ и $B$ — точки расположения радаров. Круги — это покрытие радаров. Рассмотрим фрагмент — треугольник $AOB$ .

$PIC$

В прямоугольном треугольнике $BCD$ по теореме Пифагора найдем $BD$ :

∘ ------ BD = 132 − 52 = 12

Тогда $AB = 24$ , следовательно, расстояние от центра платформы до радаров равно радиусу описанной около правильного пятиугольника окружности:

AB 24 12 OB = 2sin-(180) = 2sin-36∘ = sin36∘ 5

Чтобы найти площадь кольца покрытия, нужно из площади круга с радиусом $OE$ вычесть площадь круга с радиусом $OC$ , то есть $Sкольца =π (OE2 − OC2)$ . Отрезок $OD$ равен: $OD = tgD3B6∘ = t1g236∘$ . Найдём радиусы:

OC = OD − 5= -12--− 5;OE = OD +5=--12--+ 5 tg36∘ tg36∘

откуда:

(( 12 )2 ( 12 )2) 240π Sкольца =π tg36∘ + 5 − tg36∘-− 5 = tg-36∘.

Ответ:

$--12-;-240π- sin36∘ tg36∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#99230

Точку случайно бросают на отрезок $[6;11]$ и пусть $k$ — получившееся значение. Найти вероятность, что корни уравнения

( 2 ) 2 k − 2k − 15 x +(3k− 7)x+ 2= 0

удовлетворяют условию $x ≤ 2x. 1 2$

Источники: Газпром - 2023, 11.5 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам нужно как-то связать корни с коэффициентами в квадратном уравнении. Можно попытаться воспользоваться дискриминантом, но получится ли красиво выразить корни? Как тогда работать с корнями иначе?

Подсказка 2

Воспользуйтесь теоремой Виета. Можно попробовать понять,при каких k у нас один корень будет ровно в 2 раза больше второго!

Подсказка 3

Один корень в два раза больще второго при k = 23/3.

Подсказка 4

Так как мы решаем неравенство для корней, то можно воспользоваться методом интервалов для k!

Подсказка 5

Вероятность надо считать, используя подходящий отрезкок!

Показать ответ и решение

По теореме Виета:

{ x +x =--7−3k- 1 2 k2−22k−15 x1⋅x2 = k2−2k−15

Найдём значение $k$ при условии, что $x =2x 1 2$ , а затем воспользуемся методом интервалов:

{ 3x = -7−3k--, 22 k2−2k2−15 2x2 = k2−2k−15

({ x2 = --7−3k--, ( 2 3(k2−12k−15) x2 = k2−2k−15

(7− 3k)2 1 9(k2−-2k−-15)2 = k2−-2k−-15

Так как $k2− 2k− 15 >0$ для $k∈ (−∞;−3)∪ (5;+∞ )$ , умножив обе части равенства на квадрат этого выражения, получим

(7− 3k)2 2 2 2 23 ---9--- =k − 2k− 15⇔ 9k − 42k+ 49= 9k − 18k− 135⇔ 24k= 184⇔ k= -3 .

Изобразим на числовой оси полученное значение $k$ , и проверим, какая часть оси удовлетворяет условию $x1− 2x2 ≤ 0.$

Значит, условие $x1 ≤ 2x2$ выполняется для $23 k≤ -3$ . Тогда $23−6 1 P = 311−6-= 3.$

Ответ:

$1 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#99232

Десять шаров одинакового радиуса сложены в виде треугольной пирамиды так, что каждый шар касается как минимум трёх других. Найти радиус сферы, в которую вписана пирамида из шаров, если радиус шара, вписанного в центр пирамиды из шаров, касающегося шести одинаковых шаров, равен $√- 6− 1.$

Источники: Газпром - 2023, 11.6 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подумайте, какими свойствами будет обладать пирамида, если выложить шары так, как предложено в условии.

Подсказка 2

Да, нетрудно заметить, что пирамида будет представлять собой правильный тетраэдр (упаковка в 3 слоя: 6 + 3 + 1), с точками касания в ребрах тетраэдра. Зная этот факт, попробуйте найти различные расстояния в пирамиде (например, длину ребра).

Подсказка 3

Попробуйте рассмотреть сечение тетраэдра какой-нибудь плоскостью, которая включает в себя высоту тетраэдра. Возможно, будет полезно рассмотреть сферу, описанную вокруг пирамиды из шаров?

Показать ответ и решение

При таком расположении десяти одинаковых шаров центры $A,B,C,D$ четырёх из них расположены в вершинах правильного тетраэдра, а точки касания расположены на ребрах этого тетраэдра.

$PIC$

Следовательно, ребро тетраэдра равно четырём радиусам этих шаров, радиус внешней сферы больше радиуса шара, описанного около тетраэдра на четверть длины ребра тетраэдра, а радиус внутреннего шара меньше расстояния от центра тетраэдра до его грани на эту же величину. Рассмотрим сечение тетраэдра плоскостью $ABM$ :

$PIC$

Обозначим длину ребра тетраэдра за $a$ , радиус сферы, описанной вокруг пирамиды из шаров за $R$ , радиус шара, вписанного в центр пирамиды из шаров за $r$ .

В треугольнике $ABM :$

√- √ - √- AM =BM = a-3, ME =MH = 1AM = a--3, AH = BE = 2AM = a-3, 2 3 6 3 3

следовательно,

∘ ---2-----2 2a- a√6-- AE =BH = AM − ME = √6 = 3 .

Из подобия треугольников $AEM$ и $AHO$ имеем

AO AH a√3 √2 √2- a√6 AM- =-AE = a√6 =-2-и AO =BO = -2-AM = -4--

В треугольнике $ABO$ :

SABO = AH-⋅BO-= AB-⋅FO, 2 2

следовательно,

√-- √- FO = AH-⋅BO-= a2-18= a-2. AB 12a 4

Тогда

a√6 a a(√6 +1) R =AO + AL = -4-+ 4 = ---4---- a√2 a a(√2 − 1) r= FO − FK = -4-− 4 = ---4----

Таким образом,

R (√6-+ 1) √- √ - r-= (√2-−-1)-=( 6 +1)( 2+1),

откуда

R = (√6-+ 1)(√2+ 1)r= 5(√2+ 1).

Ответ:

$5(√2+ 1)$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#105888

Двухметровая газовая труба проржавела в двух местах. Определить вероятность того, что все три получившиеся части можно будет использовать в качестве отводов к газовым плитам, если по нормативам плита не должна находиться на расстоянии ближе $50$ см от магистральной газовой трубы.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Чтобы зафиксировалась картинка (то есть мы рассматриваем отдельный исход), надо выбрать x, y — длины первых двух кусков, а оставшийся будет равен 200-x-y. При этом, нам надо, чтобы каждый из них был больше или равен 50. Если у нас есть только два параметра, то как нам удобно понимать что-то про вероятности?

Подсказка 2

Нам удобно понимать это в терминах геометрической вероятности, то есть каком-то образом нарисовать множество подходящих исходов на плоскости. Для этого нам надо понять, какие вообще значения могут приниматься. После этого понять, какое множество подходит нам.

Подсказка 3

Чтобы понять какое множество нам подходит, надо понять, чему может быть равно y при фиксированном значении х, с учетом ограничений, которые накладываются на длины двух оставшихся труб, а после этого понять какие значения может принимать сам х.

Подсказка 4

Во-первых, y ≥ 50, а во вторых 200-x-y ≥ 50. То есть если х фиксирован, y может быть от 50 до 150-x. И так для каждого y. При этом сам x может лежать в пределах от 50 до 100. Значит, у нас получился прямоугольный треугольник со сторонами по 50. Осталось найти отношение площади этого треугольника к площади множества значений (x, y) без ограничений на длины отрезков!

Показать ответ и решение

Обозначим размеры частей, на которые разрезали трубу $x,y$ и $200 − x− y.$

Очевидно, что величины $x$ и $y$ могут принимать любые значения из промежутка $[0;200]$ . Toгда все множество возможных сочетаний ( $x;y$ ) можно изобразить на координатной плоскости $xOy$ в виде прямоугольного треугольника со сторонами, равными 200 см:

$PIC$

Мерой этого множества можно считать площадь этого треугольника $S = 12 ⋅200⋅200 =20000$ см $2.$

Для того, чтобы использовать получившиеся части в качестве отводов для плит, размер каждой из них должен быть не менее 50 см.

Множество значений $x$ и $y$ , удовлетворяющих этим условиям, можно описать в виде системы неравенств

(|{ x≥ 50 y ≥ 50 |( 200− x− y ≥50

которая отображается на координатной плоскости также в виде прямоугольного треугольника со сторонами 25 см и площадью $S1 = 12 ⋅50⋅50= 1250$ см $2.$

Тогда, вероятность того, что размеры разрезанных частей подойдут для отводов плит составит

p = S1= 1250-= 1- S 20000 16

Замечание. При решении задачи может быть использовано подобие треугольников: коэффициент подобия прямоугольных треугольников с катетами $200$ и $50$ соответственно равен $1 4$ , значит, их площади относятся как $1- 16$ .

Ответ:

$-1 16$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания