Тема Газпром - задания по годам

Газпром 2024

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела газпром - задания по годам

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#98164

Меньшая сторона параллелограмма и меньшая его диагональ, соответственно равные $4$ и $2+√37,$ образуют угол в $60∘.$ Найдите радиус описанной окружности около четырёхугольника, образованного пересечениями биссектрис внешних углов заданного параллелограмма.

Источники: Газпром - 2024, 11.3 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

С такой информацией в дано грех не найти длину отрезка AD, используя теорему косинусов.

Подсказка 2

Теперь разберёмся с четырёхугольником, образованным пересечениями биссектрис. Для этого стоит вспомнить, чему равен угол между биссектрисами односторонних углов.

Подсказка 3

Пусть MN — внешняя биссектриса угла B (точки M и N на описанной окружности). Аналогично определим прямую NP для угла C. Пересечём эти прямые с AD в точках L и F. Рассмотрите трапецию LBCF. Чем для этой трапеции будет являться отрезок MP? :)

Показать ответ и решение

Пусть $ABCD$ — заданный параллелограмм. Тогда $AB = 4,$ $BD = 2+√37,∠ABD =60∘.$

$PIC$

По теореме косинусов в $△ABD :$

AD2 =AB2 + BD2 − 2⋅AB ⋅BD ⋅cos∠ABD

2 2 √-- 2 √-- ∘ AD = 4 + (2+ 37) − 2 ⋅4 ⋅(2+ 37)⋅cos60

AD2 = 16 +4+ 4√37+ 37− 2 ⋅4 ⋅(2+ √37)⋅ 1 2

2 √-- √ -- 2 AD =57+ 4 37− 8− 4 37,AD = 49

AD =7

Пусть биссектрисы внешних углов при вершинах $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $M,$ биссектрисы внешних углов при вершинах $B$ и $C$ — в точке $N,$ углов при вершинах $C$ и $D$ — в точке $P,$ а углов при вершинах $D$ и $A$ — в точке $Q.$ Четырехугольник, образованный биссектрисами внешних углов параллелограмма, есть $MNP Q.$

Биссектрисы односторонних углов при параллельных прямых и секущей пересекаются под прямым углом, а значит, $MNP Q$ — прямоугольник $(∠M = ∠N =∠P = ∠Q =90∘).$

Пусть биссектриса внешнего угла $B$ пересекает продолжение стороны $AD$ в точке $L.$ Рассмотрим $△LBA$ — равнобедренный (так как $BM$ — биссектриса и накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $BL$ равны), то $LA =AB = 4$ и биссектриса $AM$ является и медианой, то есть $M$ — середина $BL.$

Аналогично, в равнобедренном $△CDF :CD = DF =4$ и $P$ — середина $CF.$ Рассмотрим трапецию $LBCF$ $(AD ∥BC ),$ в которой MP является средней линией, а значит, она параллельна основаниям и равна:

MP = 1(LF + BC) = 1(LA +AD + DF + BC)= 1(2AB +2BC )=AB + BC 2 2 2

По заданным числовым значениям задачи получаем: $MP = AB +BC = 4+ 7= 11.$ Итак, $MNP Q$ — прямоугольник, где диагонали $MP =QN =11$ и радиус описанной около прямоугольника окружности равен $R = OM = 11= 5,5. 2$

Ответ: 5,5

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#99235

Вычислить:

√ ----6∘----√--------- ∘ √------- ∘ √------- 2023( 2027 2024 +6073+ 2024+ 1)⋅ 2024− 1.

Источники: Газпром - 2024, 11.1 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы видим почти везде похожие числа, как будто построенные вокруг 2024 (всё-таки олимпиада проводилась в 2024 году). Понятно, что корень из 2023 почти нереально преобразовывать, используя как-то правую скобку. Значит, надо преобразовать сначала правую скобку, независимо от корня слева. Аналогичные рассуждения приводят нас к тому, что нам надо сначала преобразовать корень шестой степени, а значит, сначала подкоренное выражение. Как же это сделать?

Подсказка 2

6073 похоже на 2024, умноженное на 3, но только увеличенное на 1. А 2027 на что похоже? На 2024 + 3. Давайте тогда разложим на такую сумму, чтобы у нас были только маленькие числа и 2024 и посмотрим, на что это похоже. 2024 корня из 2024, 3 * 2024, 3 корня из 2024 и 1. Что это?

Подсказка 3

Это куб суммы корня из 2024 и 1. Доведите преобразование до конца, извлеките корень, а потом сверните по формуле разности квадратов и получите ответ!

Показать ответ и решение

Выделим куб суммы в подкоренном выражении первого слагаемого скобки:

2027√2024-+6073= 2024√2024+3√2024+ 6072+ 1= √ ----3 √ ---- 2 √ ---2 3 √---- 3 = ( 2024) +3 2024⋅1 + 3⋅( 2024) ⋅1 +1 = ( 2024 +1).

Тогда:

√ ---( 6∘-√-------- ∘√-------)∘ √------- √ ---- ∘ √-------∘ √------- 2023 ( 2024+1)3+ 2024+ 1 2024 − 1= 2023(2 ⋅ 2024+ 1) 2024 − 1= √---- ∘-√--------√------- √---√ ------- =2 2023⋅ ( 2024+ 1)( 2024 − 1)= 2 2023 2024− 1= 4046.

Ответ:

$4046$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#99236

На предприятии изготавливают инструмент для шахт, который в зависимости от качества делится на три сорта. При проверке качества в отделе технического контроля (ОТК) вероятности неверной сортировки продукции составляют:

- для инструмента первого сорта вероятность попасть во второй сорт составляет $0,015,$ в третий сорт — $0,01;$

- для инструмента второго сорта вероятность попасть в первый сорт составляет $0,015,$ в третий сорт — $0,01;$

- для инструмента третьего сорта вероятность попасть в первый сорт составляет $0,005,$ во второй сорт — $0,05;$

Какая доля инструмента первого сорта была изготовлена, если после контроля ОТК $93,5%$ инструмента были признаны первосортным, а $3$ % инструмента — третьесортным?

Источники: Газпром - 2024, 11.2 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Здесь, как и в любой задаче на движение/производство/сплавы и прочее, в большинстве случаев стоит просто параметризировать все начальные данные и составить уравнения из условия. В данном случае очень удобно будет ввести x — доля первого сорта в начале, y, z — второго и третьего соответственно. Какие тогда уравнения у нас получаются на x, y, z в связи с условием и в связи с тем, как мы их ввели?

Подсказка 2

В силу того, что это доля, x + y + z = 1. А также есть два уравнения на изменение первого и третьего сорта. Тогда у нас получилась система из 3 уравнений на 3 переменных. А значит, можем найти х.

Показать ответ и решение

Введем обозначения: $x$ — доля изготовленного инструмента первого сорта, $y$ — второго сорта, $z$ — третьего сорта.

Для инструмента первого сорта получим уравнение:

0,975x+ 0,015y+ 0,005z =0,935.

Для инструмента третьего сорта получим уравнение:

0,01x+ 0,01y +0,945z = 0,03.

Воспользуемся условием, что $x+ y+ z = 1$ , и получим систему уравнений:

(|{ 0,975x+ 0,015y +0,005z = 0,935, 0,01x+ 0,01y+ 0,945z =0,03, ⇔ |( x+ y+ x= 1 ( ( ( -4- |{ 195x+ 3y+ z = 187, |{ 192x− 2z =184, |{ z = 178177, ⇔ |( 2x +2y+ 189z =6, ⇔ |( 187z = 4, ⇔ |( x= 74158, x+y +z =1 x +y+ z = 1 y = 748.

Ответ:

$717 748$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#99237

ООО «СварМонтаж» занимается строительством линейной части магистральных газопроводов. В составе организации работают три бригады сварщиков, причем некоторые из сварщиков имеют удостоверение НАКС («Национальное Агентство Контроля сварки»). Среди сотрудников трех бригад, доли сотрудников, имеющих удостоверение НАКС, образуют геометрическую прогрессию.

Если бы количество сварщиков при неизменном проценте обладателей удостоверений НАКС в бригадах соотносилось бы как $2:3:1,$ то процент сварщиков, имеющих удостоверение НАКС, был бы равен $48,$ а если бы соотношение было бы $1:2:1,$ то процент сварщиков, имеющих удостоверение НАКС, составил бы $54.$ Сколько процентов сотрудников в каждой бригаде имеют удостоверение НАКС?

Источники: Газпром - 2024, 11.4 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В задачах, где есть несколько непересекающихся групп объектов и в каждой из таких групп есть особые объекты, которые отличаются каким-то свойством, очень удобно вводить явные переменные, которые отражают начальное количество объектов каждого типа, и после этого записывать уравнения из условия. Пусть в нашей задаче p/100, q/100, r/100 — доли сотрудников, у которых есть НАКС. Тогда без ограничения общности можно сказать, что q² = pr. А какие еще уравнения, связанные с отношениями, следуют из условия на p,q,r?

Подсказка 2

Имеем: 48/100(2k + 3k + k) = p/100*2k + q/100*3k + r/100*k. Запишите аналогичное уравнение для оставшегося отношения, после чего у нас получится система, пусть и нелинейная, но из трёх уравнений и трёх неизвестных. Теперь их все можно найти!

Показать ответ и решение

Пусть доли сотрудников, имеющих удостоверение НАКС в каждой бригаде, составляют $-p,-q-, r- 100 100 100$ соответственно. Указанные доли составляют геометрическую прогрессию, следовательно, по признаку геометрической прогрессии $2 q = p⋅r.$

Пусть количество сотрудников (сварщиков) в каждой бригаде составляют $x,y,z$ соответственно.

Также по условию при соотношении сотрудников бригад $2:3:1$ процент имеющих удостоверение НАКС равен $48.$ Это означает, что $x :y :z = 2:3:1,$ следовательно, $x = 2k,y = 3k,z =k;$ запишем:

48 p q r 100 ⋅(x +y +z)= 100 ⋅x+ 100 ⋅y+ 100-⋅z ⇔ 48⋅(x +y +z)= p⋅x+ q⋅y+⋅z ⇔ . ⇔ 48⋅(2k+3k+ k)= p⋅2k+q ⋅3k+ r⋅k⇔ 48⋅(2+ 3+1)= p⋅2+ q⋅3+r ⋅1.

А значит, $2p+ 3q+r =288.$

По условию, при соотношении сотрудников бригад $1:2:1$ процент имеющих удостоверение НАКС равен $54.$ Это означает, что $x :y :z = 1:2:1,$ следовательно, $x = k,y = 2k,z = k;$ запишем:

-54⋅(x+ y+ z) =-p-⋅x +-q-⋅y+ -r-⋅z ⇔ 54⋅(x+ y+ z) =p⋅x+ q⋅y+ r⋅z ⇔ 100 100 100 100 ⇔ 54⋅(k+ 2k+ k)=p ⋅k +q⋅2k+ r⋅k⇔ 54⋅(1+2 +1)= p⋅1+ q⋅2+r⋅1.

А значит, $p+ 2q+ r=216$ . Получили систему из трёх уравнений:

( ( ( |{ q2 = pr |{ q2 =pr, |{ q = 48 |( p +2q+ r= 216, ⇔ |( p= 72− q, ⇔ |( p= 24 2p+ 3q+ r=288 r= 144− q r= 96

Ответ:

$24%,48%,96%$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#99238

Решите неравенство:

√ -x2−6x+9 √ -x2−6x+7 ---4- (2+ 3) + (2− 3) +√3-− 2 < 0.

Источники: Газпром - 2024, 11.5 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Во-первых, надо понять что в этом неравенстве хорошего, а что плохого. Хорошее — то, насколько похожие степени у нас слева и то, что у нас связаны числа в основании. Но как они связаны? А что нам это дает?

Подсказка 2

Это дает нам возможность сделать замену, ведь если заменить на t (2 + √3) в определенной степени, на месте (2-√3) появится 1/t! Какую тогда можно взять степень? Как решать такое неравенство?

Подсказка 3

Если сделать замену t = (2 + √3)^(x² - 6x + 8), то после сокращения неравенство превращается в t + 1/t < 4. Остается только решить его не забыть про неравенство на показатели, после чего получить ответ!

Показать ответ и решение

Преобразуем неравенство:

√ -x2−6x+9 √ -x2−6x+7 4 (2 + 3) + (2− 3) <− √3−-2

√- √- (2+ 3)x2−6x+9+ (2− 3)x2− 6x+7 <--4√- 2− 3

Домножив обе части на $2− √3> 0$ , получим

- √- √- x2−6x+9 √- √ -x2−6x+7 4(2−-√3) (2− 3)(2+ 3) + (2− 3)(2 − 3) < 2 − √3

√- √ - √ - 2 √- 2 (2− 3)(2 + 3)(2+ 3)x −6x+8 +(2− 3)x −6x+8 < 4

(2 +√3)x2−6x+8+ (2− √3-)x2−6x+8 <4

Заметим, что $√ - √- (2− 3)(2+ 3)= 1$ , следовательно, после замены $√- 2 t=(2+ 3)x −6x+8$ неравенство примет вид

t+ 1< 4 t

t2− 4t+ 1< 0

√- √- 2− 3< t< 2+ 3

Сделаем обратную замену:

{ (2+√3 )x2−6x+8 >2 − √3, { (2+ √3)x2−6x+8 > (2+√3)−1, (2+√3-)x2−6x+8 <2 +√3- ⇔ (2+ √3)x2−6x+8 < 2+ √3 ⇔ { 2 { 2 { ⇔ x − 6x+ 8> −1, ⇔ x − 6x +9 >0, ⇔ x ⁄=3√, √ - x2− 6x+ 8< 1 x2− 6x +7 <0 3− 2 <x <3 + 2.

Ответ:

$(3− √2;3)∪ (3;3+ √2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#99239

Для монтажа бурового оборудования в скважину используется подвес, состоящий из металлического каркаса в форме равностороннего треугольника и трёх регулируемых по длине тросов протянутых через вершины треугольника и соединяющихся на крюке. Расстояние между тросами на каркасе составляет $2$ м, а их первоначальная длина от каркаса до крюка — $3$ м. При спуске оборудования оказалось, что крюк нужно сместить на $√3 12$ м вдоль медианы каркаса по направлению от вершины. На сколько метров нужно удлинить трос, проходящий через эту вершину?

Источники: Газпром - 2024, 11.6 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Из условия следует, что у нас изначально есть правильный тетраэдр со стороной 2. После этого мы как-то меняем положение крюка, чтобы точка вершины сдвинулась вдоль медианы в основании на нужную длину. Подумайте, что это значит в терминах геометрии.

Подсказка 2

Это значит, что проекция вершины S на плоскость основания сместилась на нужную длину, но при этом проекция S всё равно лежит на медиане. Если S₁ — новая точка, то мы можем посчитать S₁O₁ как катет прямоугольного треугольника S₁DO₁, где D — середина BC, а O₁ — сдвинутая на нужную длину точка O. Но тогда мы можем найти и S₁A (из какого прямоугольного треугольника?), а значит, и разность длин троса. Ну и всё, идейно задача решена, осталось посчитать!

Показать ответ и решение

$PIC$