Тема Газпром - задания по годам

Газпром 2024

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела газпром - задания по годам

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#98164

Меньшая сторона параллелограмма и меньшая его диагональ, соответственно равные $4$ и $2+√37,$ образуют угол в $60∘.$ Найдите радиус описанной окружности около четырёхугольника, образованного пересечениями биссектрис внешних углов заданного параллелограмма.

Источники: Газпром - 2024, 11.3 (см. olympiad.gazprom.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $ABCD$ — заданный параллелограмм. Тогда $AB = 4,$ $BD = 2+√37,∠ABD =60∘.$

$PIC$

По теореме косинусов в $△ABD :$

AD2 =AB2 + BD2 − 2⋅AB ⋅BD ⋅cos∠ABD

2 2 √-- 2 √-- ∘ AD = 4 + (2+ 37) − 2 ⋅4 ⋅(2+ 37)⋅cos60

AD2 = 16 +4+ 4√37+ 37− 2 ⋅4 ⋅(2+ √37)⋅ 1 2

2 √-- √ -- 2 AD =57+ 4 37− 8− 4 37,AD = 49

AD =7

Пусть биссектрисы внешних углов при вершинах $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $M,$ биссектрисы внешних углов при вершинах $B$ и $C$ — в точке $N,$ углов при вершинах $C$ и $D$ — в точке $P,$ а углов при вершинах $D$ и $A$ — в точке $Q.$ Четырехугольник, образованный биссектрисами внешних углов параллелограмма, есть $MNP Q.$

Биссектрисы односторонних углов при параллельных прямых и секущей пересекаются под прямым углом, а значит, $MNP Q$ — прямоугольник $(∠M = ∠N =∠P = ∠Q =90∘).$

Пусть биссектриса внешнего угла $B$ пересекает продолжение стороны $AD$ в точке $L.$ Рассмотрим $△LBA$ — равнобедренный (так как $BM$ — биссектриса и накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $BL$ равны), то $LA =AB = 4$ и биссектриса $AM$ является и медианой, то есть $M$ — середина $BL.$

Аналогично, в равнобедренном $△CDF :CD = DF =4$ и $P$ — середина $CF.$ Рассмотрим трапецию $LBCF$ $(AD ∥BC ),$ в которой MP является средней линией, а значит, она параллельна основаниям и равна:

MP = 1(LF + BC) = 1(LA +AD + DF + BC)= 1(2AB +2BC )=AB + BC 2 2 2

По заданным числовым значениям задачи получаем: $MP = AB +BC = 4+ 7= 11.$ Итак, $MNP Q$ — прямоугольник, где диагонали $MP =QN =11$ и радиус описанной около прямоугольника окружности равен $R = OM = 11= 5,5. 2$

Ответ: 5,5

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#99235

Вычислить:

√ ----6∘----√--------- ∘ √------- ∘ √------- 2023( 2027 2024 +6073+ 2024+ 1)⋅ 2024− 1.

Источники: Газпром - 2024, 11.1 (см. olympiad.gazprom.ru)

Показать ответ и решение

Выделим куб суммы в подкоренном выражении первого слагаемого скобки:

2027√2024-+6073= 2024√2024+3√2024+ 6072+ 1= √ ----3 √ ---- 2 √ ---2 3 √---- 3 = ( 2024) +3 2024⋅1 + 3⋅( 2024) ⋅1 +1 = ( 2024 +1).

Тогда:

√ ---( 6∘-√-------- ∘√-------)∘ √------- √ ---- ∘ √-------∘ √------- 2023 ( 2024+1)3+ 2024+ 1 2024 − 1= 2023(2 ⋅ 2024+ 1) 2024 − 1= √---- ∘-√--------√------- √---√ ------- =2 2023⋅ ( 2024+ 1)( 2024 − 1)= 2 2023 2024− 1= 4046.

Ответ:

$4046$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#99236

На предприятии изготавливают инструмент для шахт, который в зависимости от качества делится на три сорта. При проверке качества в отделе технического контроля (ОТК) вероятности неверной сортировки продукции составляют:

- для инструмента первого сорта вероятность попасть во второй сорт составляет $0,015,$ в третий сорт — $0,01;$

- для инструмента второго сорта вероятность попасть в первый сорт составляет $0,015,$ в третий сорт — $0,01;$

- для инструмента третьего сорта вероятность попасть в первый сорт составляет $0,005,$ во второй сорт — $0,05;$

Какая доля инструмента первого сорта была изготовлена, если после контроля ОТК $93,5%$ инструмента были признаны первосортным, а $3$ % инструмента — третьесортным?

Источники: Газпром - 2024, 11.2 (см. olympiad.gazprom.ru)

Показать ответ и решение

Введем обозначения: $x$ — доля изготовленного инструмента первого сорта, $y$ — второго сорта, $z$ — третьего сорта.

Для инструмента первого сорта получим уравнение:

0,975x+ 0,015y+ 0,005z =0,935.

Для инструмента третьего сорта получим уравнение:

0,01x+ 0,01y +0,945z = 0,03.

Воспользуемся условием, что $x+ y+ z = 1$ , и получим систему уравнений:

(|{ 0,975x+ 0,015y +0,005z = 0,935, 0,01x+ 0,01y+ 0,945z =0,03, ⇔ |( x+ y+ x= 1 ( ( ( -4- |{ 195x+ 3y+ z = 187, |{ 192x− 2z =184, |{ z = 178177, ⇔ |( 2x +2y+ 189z =6, ⇔ |( 187z = 4, ⇔ |( x= 74158, x+y +z =1 x +y+ z = 1 y = 748.

Ответ:

$717 748$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#99237

ООО «СварМонтаж» занимается строительством линейной части магистральных газопроводов. В составе организации работают три бригады сварщиков, причем некоторые из сварщиков имеют удостоверение НАКС («Национальное Агентство Контроля сварки»). Среди сотрудников трех бригад, доли сотрудников, имеющих удостоверение НАКС, образуют геометрическую прогрессию.

Если бы количество сварщиков при неизменном проценте обладателей удостоверений НАКС в бригадах соотносилось бы как $2:3:1,$ то процент сварщиков, имеющих удостоверение НАКС, был бы равен $48,$ а если бы соотношение было бы $1:2:1,$ то процент сварщиков, имеющих удостоверение НАКС, составил бы $54.$ Сколько процентов сотрудников в каждой бригаде имеют удостоверение НАКС?

Источники: Газпром - 2024, 11.4 (см. olympiad.gazprom.ru)

Показать ответ и решение

Пусть доли сотрудников, имеющих удостоверение НАКС в каждой бригаде, составляют $-p,-q-, r- 100 100 100$ соответственно. Указанные доли составляют геометрическую прогрессию, следовательно, по признаку геометрической прогрессии $2 q = p⋅r.$

Пусть количество сотрудников (сварщиков) в каждой бригаде составляют $x,y,z$ соответственно.

Также по условию при соотношении сотрудников бригад $2:3:1$ процент имеющих удостоверение НАКС равен $48.$ Это означает, что $x :y :z = 2:3:1,$ следовательно, $x = 2k,y = 3k,z =k;$ запишем:

48 p q r 100 ⋅(x +y +z)= 100 ⋅x+ 100 ⋅y+ 100-⋅z ⇔ 48⋅(x +y +z)= p⋅x+ q⋅y+⋅z ⇔ . ⇔ 48⋅(2k+3k+ k)= p⋅2k+q ⋅3k+ r⋅k⇔ 48⋅(2+ 3+1)= p⋅2+ q⋅3+r ⋅1.

А значит, $2p+ 3q+r =288.$

По условию, при соотношении сотрудников бригад $1:2:1$ процент имеющих удостоверение НАКС равен $54.$ Это означает, что $x :y :z = 1:2:1,$ следовательно, $x = k,y = 2k,z = k;$ запишем:

-54⋅(x+ y+ z) =-p-⋅x +-q-⋅y+ -r-⋅z ⇔ 54⋅(x+ y+ z) =p⋅x+ q⋅y+ r⋅z ⇔ 100 100 100 100 ⇔ 54⋅(k+ 2k+ k)=p ⋅k +q⋅2k+ r⋅k⇔ 54⋅(1+2 +1)= p⋅1+ q⋅2+r⋅1.

А значит, $p+ 2q+ r=216$ . Получили систему из трёх уравнений:

( ( ( |{ q2 = pr |{ q2 =pr, |{ q = 48 |( p +2q+ r= 216, ⇔ |( p= 72− q, ⇔ |( p= 24 2p+ 3q+ r=288 r= 144− q r= 96

Ответ:

$24%,48%,96%$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#99238

Решите неравенство:

√ -x2−6x+9 √ -x2−6x+7 ---4- (2+ 3) + (2− 3) +√3-− 2 < 0.

Источники: Газпром - 2024, 11.5 (см. olympiad.gazprom.ru)

Показать ответ и решение

Преобразуем неравенство:

√ -x2−6x+9 √ -x2−6x+7 4 (2 + 3) + (2− 3) <− √3−-2

√- √- (2+ 3)x2−6x+9+ (2− 3)x2− 6x+7 <--4√- 2− 3

Домножив обе части на $2− √3> 0$ , получим

- √- √- x2−6x+9 √- √ -x2−6x+7 4(2−-√3) (2− 3)(2+ 3) + (2− 3)(2 − 3) < 2 − √3

√- √ - √ - 2 √- 2 (2− 3)(2 + 3)(2+ 3)x −6x+8 +(2− 3)x −6x+8 < 4

(2 +√3)x2−6x+8+ (2− √3-)x2−6x+8 <4

Заметим, что $√ - √- (2− 3)(2+ 3)= 1$ , следовательно, после замены $√- 2 t=(2+ 3)x −6x+8$ неравенство примет вид

t+ 1< 4 t

t2− 4t+ 1< 0

√- √- 2− 3< t< 2+ 3

Сделаем обратную замену:

{ (2+√3 )x2−6x+8 >2 − √3, { (2+ √3)x2−6x+8 > (2+√3)−1, (2+√3-)x2−6x+8 <2 +√3- ⇔ (2+ √3)x2−6x+8 < 2+ √3 ⇔ { 2 { 2 { ⇔ x − 6x+ 8> −1, ⇔ x − 6x +9 >0, ⇔ x ⁄=3√, √ - x2− 6x+ 8< 1 x2− 6x +7 <0 3− 2 <x <3 + 2.

Ответ:

$(3− √2;3)∪ (3;3+ √2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#99239

Для монтажа бурового оборудования в скважину используется подвес, состоящий из металлического каркаса в форме равностороннего треугольника и трёх регулируемых по длине тросов протянутых через вершины треугольника и соединяющихся на крюке. Расстояние между тросами на каркасе составляет $2$ м, а их первоначальная длина от каркаса до крюка — $3$ м. При спуске оборудования оказалось, что крюк нужно сместить на $√3 12$ м вдоль медианы каркаса по направлению от вершины. На сколько метров нужно удлинить трос, проходящий через эту вершину?