.02 Свойства функции

Область значения функции — это множество всех значений функции (переменной полученных при переборе всех значений переменной из области определения. В графическом изображении область значений — проекция графика функции на ось ординат.

(a) Докажем, что — возрастающая функция. Пусть и — произвольные значения аргумента, причём Обозначим через и соответствующие им значения функции:

Рассмотрим разность и

Множитель положителен, так как поэтому произведение тоже положительно. Тогда и является возрастающей функцией, что и требовалось доказать.

возрастающая и определена на всех числах отрезка. Тогда наименьшему значению будет соответствовать наименьшее значение а наибольшему — наибольшее.

Тогда область значений функции:

(b) Докажем, что — убывающая функция. Пусть и — произвольные значения аргумента, причём Обозначим через и соответствующие им значения функции:

Рассмотрим разность и

Множитель отрицателен, так как поэтому произведение тоже отрицательно. Тогда и является убывающей функцией, что и требовалось доказать.

убывающая и определена на всех числах отрезка. Тогда наибольшему значению будет соответствовать наименьшее значение а наименьшему — наибольшее.

Тогда область значений функции: