Тема . Функции

.02 Свойства функции

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела функции

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#116789

Составьте таблицу значений и постройте график функции, заданной формулой:

(a) $y =x3− 8x,$ где $− 3≤ x≤ 3;$

(b) $y = x+42,$ где $− 1,5≤ x≤ 6.$

Какова область значений функции?

Источники: Алгебра. 9 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. 11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) Для $y = x3 − 8x= x(x2− 8):$

2 y(−3)= −3((−3) − 8) =− 3(9− 8)=− 3

y(−2,5)= −2,5((− 2,5)2− 8)= −2,5(6,25− 8)= −2,5⋅(−1,75)= 4,375

y(− 2)= −2((− 2)2− 8)= −2(4− 8)= −2⋅(− 4)=8

y(−1,5)= −1,5((− 1,5)2− 8)= −1,5(2,25− 8)= −1,5⋅(−5,75)= 8,625

y(− 1)= −(1− 8)=7

y(−0,5)= −0,5((− 0,5)2− 8)= −0,5(0,25− 8)= −0,5⋅(−7,75)= 3,875

y(0)= 0

y(0,5)= 0,5(0,52 − 8)= 0,5(0,25− 8)= 0,5⋅(−7,75)= −3,875

y(1)= 1− 8= −7

2 y(1,5)= 1,5(1,5 − 8)= 1,5(2,25− 8)= 1,5⋅(−5,75)= −8,625

y(2)= 2(22− 8)= 2(4− 8)=2 ⋅(−4)= −8

y(2,5)= 2,5(2,52 − 8)= 2,5(6,25− 8)= 2,5⋅(−1,75)= −4,375

y(3)=3(32− 8)= 3(9 − 8)= 3

Составим таблицу значений:

|--|---|-----|---|-----|---|----|--|------|---|------|---|------|--| |x-|−3-|−-2,5-|−2-|−1,5-|−1-|−0,5-|0-|-0,5--|-1-|-1,5--|-2-|-2,5--|3-| -y--−3--4,375--8---8,625--7---3,875--0--−3,875--−7--−8,625--−8--−4,375--3-|

Отметим на графике данные нам точки:

$PIC$

Соединим их и получим искомый график зависимости:

$PIC$

Если бы мы изобразили больше точек, график получился бы более плавным:

$PIC$

Позже, в курсе математического анализа, мы узнаем, как точно найти максимум и минимум этой функции. Её максимум находится в точке $(− 2√6;32√6), 3 9$ а минимум — в точке $(2√6;− 32√6). 3 9$ Тогда область значений функции:

32√6- 32√6 32√6 32√6 − 9 < y < 9 , или ж еE(y)=[− 9 ; 9 ]

Но пока что можем ограничиться данными, которые у нас есть, и сказать, что область значения функции такова:

−8,625 ≤y ≤8,625, или ж еE(y)=[−8,625;8,625]

(b) Для $y = x4+2:$

---4--- -4- y(−1,5)= − 1,5+ 2 = 0,5 = 8

4 4 y(−1)= −1+-2 =1 = 4

y(−0,5)= ---4---= -4-=4 ÷ 3 = 4⋅ 2= 8 =2 2 −0,5+ 2 1,5 2 3 3 3

y(0)= -4--= 4 =2 0+ 2 2

4 4 y(0,5)= 0,5+-2 = 2,5-= 1,6

y(1)= --4- = 4= 11 1 +2 3 3

y(1,5)= --4-- = 4-= 4÷ 7 =4 ⋅ 2= 8 =11 1,5 +2 3,5 2 7 7 7

4 4 y(2)= 2+-2 = 4 =1

y(2,5)= 2,45+2 = 44,5-=4÷ 92 =4 ⋅ 29 = 89

--4- 4 y(3)= 3 +2 = 5 = 0,8

4 4 11 2 8 y(3,5)= 3,5-+2 = 5,5 = 4÷ 2-= 4⋅11 = 11

-4-- -/42 2 y(4)= 4+ 2 = /6 = 3 3

y(4,5)= --4-- = 4-= 4÷ 13= 4⋅-2 = 8- 4,5 +2 6,5 2 13 13

4 4 y(5) = 5+2-= 7

--4-- 4-- 15 -2 8- y(5,5)= 5,5 +2 = 7,5 = 4÷ 2 = 4⋅15 = 15

1 y(6)= -4--= -/4-= 1 =0,5 6+ 2 /82 2

Составим таблицу значений:

|----|-----|---|-----|-|----|---|---|--|---|---|----|--|---|--|----|---| |-x--|−-1,5-|−1-|−0,5-|0|0,5-|1--|1,5-|2-|2,5-|-3-|3,5-|4-|4,5-|5-|5,5-|6--| | y | 8 | 4 | 22 |2|1,6 |11 |11 |1 | 8 |0,8| 8- |2 |-8 |4 | 8- |0,5 | ------------------3-----------3---7------9-------11--3--13--7---15-------

Составим таблицу значений:

|x-|−3-|−-2,5-|−2-|−1,5-|−1-|−0,5-|0-|-0,5--|-1-|-1,5--|-2-|-2,5--|3-| |y-|−3-|4,375-|8--|8,625-|7--|3,875-|0-|−3,875-|−7-|−8,625-|−8-|−4,375-|3-| -------------------------------------------------------------------|

Отметим на графике данные нам точки:

$PIC$

Соединим их и получим искомый график зависимости:

$PIC$

Если бы мы изобразили больше точек, график получился бы более плавным:

$PIC$

Область значений функции:

0,5< y < 8, или ж еE(y)=[0,5;8]

Ответ:

(a)

|--|---|-----|---|-----|---|----|--|------|---|------|---|------|--| |x-|−3-|−-2,5-|−2-|−1,5-|−1-|−0,5-|0-|-0,5--|-1-|-1,5--|-2-|-2,5--|3-| -y--−3--4,375--8---8,625--7---3,875--0--−3,875--−7--−8,625--−8--−4,375--3-|

$PIC$

$√- √ - −329-6< y < 329-6,$ или же $√- √- E (y)= [− 3296;3296];$

(b)

|x-|−3-|−-2,5-|−2-|−1,5-|−1-|−0,5-|0-|-0,5--|-1-|-1,5--|-2-|-2,5--|3-| |y-|−3-|4,375-|8--|8,625-|7--|3,875-|0-|−3,875-|−7-|−8,625-|−8-|−4,375-|3-| -------------------------------------------------------------------|

$PIC$

$0,5< y < 8,$ или же $E(y)=[0,5;8].$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

.02 Свойства функции

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ