Тема КФУ - задания по годам

КФУ 2025

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела кфу - задания по годам

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#103994

Решите уравнение $arcsin(9x − 6)= arccos(7x− 5)$ .

Показать ответ и решение

Существует такой $x,$ при котором найдётся угол $α ∈ [0;π], α= arcsin(9x − 6)= arccos(7x− 5) 2$ тогда и только тогда, когда

( |{ 0≤ 9x− 6≤ 1 |( 0≤ 7x−25≤ 1 2 (9x − 6) + (7x− 5) =1

Уравнение из системы равносильно

2 2 81x − 108x+ 36+49x − 70x +25= 1

130x2− 178x+ 60= 0

x= 3 или x= 10 5 13

Но так как

9⋅ 3 − 6 = 27-− 6 <0, 5 5

то $x= 35$ не удовлетворяет первому неравенству системы.

А корень $x= 1103$ тривиальной подстановкой уже оказывается подходящим под неравенства системы.

Ответ:

$10 13$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#103995

Пусть $a =√0,99...99$ (2024 девятки). Какова в этом числе:

а) 2024-ая;

б) 2025-ая

цифра после запятой?

Показать ответ и решение

$a =√1-− 10−2024.$ Обозначим $x= −10−2024.$ Докажем, что

x x2 √---- x 1+ 2 − 8 < 1 +x <1+ 2

Это неравенство из-за области значений $x$ эквивалентно возведённому в квадрат:

x2 x4 x2 x3 x2 1 +-4 + 64-+x − 4-− 8-< 1+ x< 1+x + 4-

Теперь правое неравенство очевидно в силу $2 0< x4-$ , а левое тоже в силу $4 3 x64 < x8 .$

Тогда получаем, что

−4048 1 − 5⋅10−2025− 10---< a< 1− 5⋅10− 2025 8

1− 6⋅10−2025 < a< 1− 5⋅10− 2025

a =0,9◟9..◝.◜99◞+4⋅10−2025+ 𝜀, 2024

где $−2025 𝜀 <10 .$

Ответ:

а) 9;

б) 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#103996

Любочка: “Вы сказали, что квадратное уравнение, заданное на дом, имеет не только целые ненулевые коэффициенты, но и два целых корня, а у меня получается, что корней вообще нет”.

Учитель: “Перед $2 x$ был написан коэффициент, а ты его пропустила, записывая задание в тетрадь”.

Можно ли утверждать, что Любочка может однозначно исправить свою описку на основе этой информации?

Показать ответ и решение

Любочка могла записать уравнение с целыми ненулевыми коэффициентами

2 x + 6x+ 36 =0,

которое не имеет корней, поскольку $x2+ 2⋅x⋅3+ 32 +27= (x+3)2+ 27 >0.$

При этом можно как дописать старший коэффициент -2:

2 − 2x + 6x+ 36= 0 ⇐ ⇒ x =− 3 или x =6,

так и дописать коэффициент -6:

− 6x2+ 6x+ 36= 0 ⇐ ⇒ x =3 или x= −2,

причём в обеих случаях получатся подходящие заданные учителем уравнения. Поэтому однозначно восстановить начальное уравнение Любочка уже не может.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Покажем, как можно составлять такие примеры, хотя это необязательно прописывать в решении на олимпиаде.

Пусть верное задание имело вид $ax2+ bx +c= 0$ . Попробуем подобрать $b$ и $c$ так, чтобы полученное уравнение имело целые корни более, чем при одном значении $a$ .

По теореме Виета $b= −a (x1+ x2);c= ax1x2$ . Исключим неизвестное $a$ из этой системы, поделив первое уравнение на второе. Это можно сделать, так как $c$ не равно 0 . Получаем равенство

b 1- 1- −c = x2 + x1.

Значит, надо подобрать две пары целых чисел ( $x1;x2$ ), для которых суммы обратных величин совпадают.

При этом надо учесть, что уравнение $2 x + bx +c= 0$ не имеет корней. Это значит, что все значения левой части положительны и, в частности, значение при $x= 0$ : $c >0$ .

Имеем

( ) ax2+bx+ c= x2 +bx+ c +(a− 1)x2.

При $x= x1$ или $x= x2$ эта сумма равна нулю, в то время как первое слагаемое положительно. Значит, $a< 1$ . В силу того, что $a$ целое, а уравнение — квадратное, $a< 0$ . Итак, с должно быть положительным, при этом $a$ — отрицательным. Из соотношения $c= ax1x2$ следует, что корни имеют разный знак.

Например,

12 + −13-= 13 + −16-= 16.

Подставляя пары корней $(2;−3)$ и $(3;−6)$ в теорему Виета, получим, что

b= −a1⋅(− 1)=− a2 ⋅(−3);c =a1⋅(−6)= a2 ⋅(−18).

Следовательно,

b=a1 = 3a2,c =−6b.

Ответ: нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#103997

Через каждую из сторон равностороннего треугольника $ABC$ со стороной 12 проведена плоскость, образующая угол $30∘$ с плоскостью этого треугольника. Эти три плоскости пересекаются в точке $D$ . Чему может быть равно расстояние от $D$ до плоскости треугольника?

Показать ответ и решение

Опустим из точки $D$ перпендикуляр на плоскость $ABC,$ назовем полученную точку $O.$ Проведем из точек $D$ и $O$ перпендикуляры к $AB,$ по теореме о трех перпендикулярах получим одну и ту же точку $M.$

Обозначим длину искомого отрезка $DO$ за $h.$ Тогда катет $OM$ полученного прямоугольного треугольника $DOM$ с углом $∘ ∠DMO = 30$ равен $√- 3h.$

В силу симметрии треугольника $ABC$ точка $O$ равноудалена от прямых $AB,$ $BC$ и $AC$ на расстояние $√ - 3h,$ значит, $O$ либо центр вписанной окружности, либо центр одной из вневписанных окружностей треугольника $ABC.$

Найдем расстояние между стороной $AB$ и центром вписанной окружности $O :$

$PIC$

Так как $ABC$ — равносторонний, то высота $OM$ является медианой, значит, $MB = 6.$ Следовательно, $OM = 6⋅tg30∘ = 2√3,$ тогда $√3h = 2√3,$ откуда $h =2.$

Рассмотрим случай, когда точка $O$ оказалась центром вневписанной окружности:

$PIC$

Тогда получим равносторонний треугольник $ABO$ со стороной $AB = 12.$ Найдем длину высоты $√ - OM = 12⋅cos60∘ = 6 3,$ значит, $√ - √ - 3h = 6 3,$ откуда $h =6.$

Ответ: 2 или 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#103998

При каких значениях параметра $a$ три различных параболы с уравнениями $y = ax2+ x+ 1; y = x2+ax+ 1; y = x2+ x+ a$ имеют общую касательную? (Точки касания не обязаны совпадать)

Показать ответ и решение

Пусть $y =kx+ b$ — касательная из условия. Выразим условия пересечения прямой $y$ с каждой из парабол:

2 2 2 ax + x+ 1= kx+b, x +ax+ 1= kx+ b, x +x +a= kx+ b

Так как прямая является касательной к каждой из них, значит, у каждого уравнения должно быть единственное решение, получаем систему, приравнивая дискриминант каждого уравнения к нулю: