Тема КФУ - задания по годам

КФУ 2025

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела кфу - задания по годам

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#103994

Решите уравнение $arcsin(9x − 6)= arccos(7x− 5)$ .

Источники: КФУ - 2025, 11.1 (см. malun.kpfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Изначально уравнение представлено в не самом приятном виде. Попробуем его преобразовать! Пусть t = arcsin(9x-6) = arccos(7x-5). Тогда удобно понимать, что t — некоторый угол. А что тогда можно сказать о синусе и косинусе этого угла?

Подсказка 2

Верно! Сумма квадратов синуса и косинуса t равна 1. Это необходимое условие того, чтобы уравнение имело решения! А какое условие будет достаточным?

Подсказка 3

Конечно! Не считая ОДЗ, достаточно, чтобы сумма квадратов 9x-6 и 7x-5 была равна 1. Теперь достаточно решить простенькое квадратное уравнение и найти ОДЗ!

Показать ответ и решение

Существует такой $x,$ при котором найдётся угол $α ∈ [0;π], α= arcsin(9x − 6)= arccos(7x− 5) 2$ тогда и только тогда, когда

( |{ 0≤ 9x− 6≤ 1 |( 0≤ 7x−25≤ 1 2 (9x − 6) + (7x− 5) =1

Уравнение из системы равносильно

2 2 81x − 108x+ 36+49x − 70x +25= 1

130x2− 178x+ 60= 0

x= 3 или x= 10 5 13

Но так как

9⋅ 3 − 6 = 27-− 6 <0, 5 5

то $x= 35$ не удовлетворяет первому неравенству системы.

А корень $x= 1103$ тривиальной подстановкой уже оказывается подходящим под неравенства системы.

Ответ:

$10 13$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#103995

Пусть $a =√0,99...99$ (2024 девятки). Какова в этом числе:

а) 2024-ая;

б) 2025-ая

цифра после запятой?

Источники: КФУ - 2025, 11.2 (см. malun.kpfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы знаем, что 0,9 = 1 - 10⁻¹, тогда наше подкоренное выражение можем записать как 1 - 10⁻²⁰²⁴. Хочется как-то ограничить a, попробуем ограничить через связь с (- 10⁻²⁰²⁴) = x, то есть, хотим получить f(x) < √(1+x) < g(x). Ведь в таком случае мы сможем что-то сказать о 2024-й и 2025-й цифре после запятой!

Подсказка 2

Так как значение под корнем меньше 1, то 1 + x < √(1+x) < 1, но нужна более точная оценка. Поможет, например, возведение в квадрат или деление.

Подсказка 3

Попробуем ограничить снизу 1+x/2 -x²/8, а сверху 1+ x/2, после доказательства сможем получить сразу и 2024-ую цифру, и 2025-ую!

Показать ответ и решение

$a =√1-− 10−2024.$ Обозначим $x= −10−2024.$ Докажем, что

x x2 √---- x 1+ 2 − 8 < 1 +x <1+ 2

Это неравенство из-за области значений $x$ эквивалентно возведённому в квадрат:

x2 x4 x2 x3 x2 1 +-4 + 64-+x − 4-− 8-< 1+ x< 1+x + 4-

Теперь правое неравенство очевидно в силу $2 0< x4-$ , а левое тоже в силу $4 3 x64 < x8 .$

Тогда получаем, что

−4048 1 − 5⋅10−2025− 10---< a< 1− 5⋅10− 2025 8

1− 6⋅10−2025 < a< 1− 5⋅10− 2025

a =0,9◟9..◝.◜99◞+4⋅10−2025+ 𝜀, 2024

где $−2025 𝜀 <10 .$

Ответ:

а) 9;

б) 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#103996

Любочка: “Вы сказали, что квадратное уравнение, заданное на дом, имеет не только целые ненулевые коэффициенты, но и два целых корня, а у меня получается, что корней вообще нет”.

Учитель: “Перед $2 x$ был написан коэффициент, а ты его пропустила, записывая задание в тетрадь”.

Можно ли утверждать, что Любочка может однозначно исправить свою описку на основе этой информации?

Источники: КФУ - 2025, 11.3 (см. malun.kpfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Предположим, что верное задание имеет вид ax² + bx + c = 0. Можно ли подобрать b и c так, чтобы полученное уравнение имело целые корни более, чем при одном значении a?

Подсказка 2

Задействуем теорему Виета. Тогда b = -a(x₁ + x₂) и c = ax₁x₂. Что получится, если разделить одно уравнение на другое?

Подсказка 3

Верно! Теперь у нас стоит задача найти две пары целых x₁ и x₂, у которых суммы обратных величин совпадают и равны -b/c, а также уравнение x² + bx + c = 0 не имеет решений. А можно ли еще добыть информацию про a?

Подсказка 4

Представим ax² + bx + c = (x² + bx + c) + (1-a)x². Левая часть равна нулю, а в правой части первое слагаемое положительно, потому что не имеет нулей. Тогда второе слагаемое отрицательно, что возможно только при целом a < 0. А каков знак c?

Подсказка 5

Верно! c > 0, так как уравнение x² + bx + c = 0 не имеет корней. Тогда, поскольку c > 0 и a < 0, то корни x₁ и x₂ имеют разный знак. Имея такую, достаточно полную информацию, нужно придумать пример!

Показать ответ и решение

Любочка могла записать уравнение с целыми ненулевыми коэффициентами

2 x + 6x+ 36 =0,

которое не имеет корней, поскольку $x2+ 2⋅x⋅3+ 32 +27= (x+3)2+ 27 >0.$

При этом можно как дописать старший коэффициент -2:

2 − 2x + 6x+ 36= 0 ⇐ ⇒ x =− 3 или x =6,

так и дописать коэффициент -6:

− 6x2+ 6x+ 36= 0 ⇐ ⇒ x =3 или x= −2,

причём в обеих случаях получатся подходящие заданные учителем уравнения. Поэтому однозначно восстановить начальное уравнение Любочка уже не может.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Покажем, как можно составлять такие примеры, хотя это необязательно прописывать в решении на олимпиаде.

Пусть верное задание имело вид $ax2+ bx +c= 0$ . Попробуем подобрать $b$ и $c$ так, чтобы полученное уравнение имело целые корни более, чем при одном значении $a$ .

По теореме Виета $b= −a (x1+ x2);c= ax1x2$ . Исключим неизвестное $a$ из этой системы, поделив первое уравнение на второе. Это можно сделать, так как $c$ не равно 0 . Получаем равенство

b 1- 1- −c = x2 + x1.

Значит, надо подобрать две пары целых чисел ( $x1;x2$ ), для которых суммы обратных величин совпадают.

При этом надо учесть, что уравнение $2 x + bx +c= 0$ не имеет корней. Это значит, что все значения левой части положительны и, в частности, значение при $x= 0$ : $c >0$ .

Имеем

( ) ax2+bx+ c= x2 +bx+ c +(a− 1)x2.

При $x= x1$ или $x= x2$ эта сумма равна нулю, в то время как первое слагаемое положительно. Значит, $a< 1$ . В силу того, что $a$ целое, а уравнение — квадратное, $a< 0$ . Итак, с должно быть положительным, при этом $a$ — отрицательным. Из соотношения $c= ax1x2$ следует, что корни имеют разный знак.

Например,

12 + −13-= 13 + −16-= 16.

Подставляя пары корней $(2;−3)$ и $(3;−6)$ в теорему Виета, получим, что

b= −a1⋅(− 1)=− a2 ⋅(−3);c =a1⋅(−6)= a2 ⋅(−18).

Следовательно,

b=a1 = 3a2,c =−6b.

Ответ: нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#103997

Через каждую из сторон равностороннего треугольника $ABC$ со стороной 12 проведена плоскость, образующая угол $30∘$ с плоскостью этого треугольника. Эти три плоскости пересекаются в точке $D$ . Чему может быть равно расстояние от $D$ до плоскости треугольника?

Источники: КФУ - 2025, 11.4 (см. malun.kpfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Интересно, где вообще может находиться точка D, в которой все три плоскости пересекаются? Если подумать о симметрии, куда она явно просится?

Подсказка 2

Окей, представим, что D висит прямо над центром треугольника. Теперь подумаем: если опустить из D перпендикуляр на плоскость АВС, получим точку О. А если из О и D провести перпендикуляры к стороне АВ, какой угол там получится? И как это связано с нашими 30°?

Подсказка 3

Хорошо, ОМ — это расстояние от центра до стороны. В равностороннем треугольнике оно легко считается. Но тут есть нюанс: а если О — это не центр вписанной окружности, а центр вневписанной? Как тогда изменится ОМ, и что это даст для h? Попробуйте рассмотреть оба варианта!

Показать ответ и решение

Опустим из точки $D$ перпендикуляр на плоскость $ABC,$ назовем полученную точку $O.$ Проведем из точек $D$ и $O$ перпендикуляры к $AB,$ по теореме о трех перпендикулярах получим одну и ту же точку $M.$

Обозначим длину искомого отрезка $DO$ за $h.$ Тогда катет $OM$ полученного прямоугольного треугольника $DOM$ с углом $∘ ∠DMO = 30$ равен $√- 3h.$

В силу симметрии треугольника $ABC$ точка $O$ равноудалена от прямых $AB,$ $BC$ и $AC$ на расстояние $√ - 3h,$ значит, $O$ либо центр вписанной окружности, либо центр одной из вневписанных окружностей треугольника $ABC.$

Найдем расстояние между стороной $AB$ и центром вписанной окружности $O :$

$PIC$

Так как $ABC$ — равносторонний, то высота $OM$ является медианой, значит, $MB = 6.$ Следовательно, $OM = 6⋅tg30∘ = 2√3,$ тогда $√3h = 2√3,$ откуда $h =2.$

Рассмотрим случай, когда точка $O$ оказалась центром вневписанной окружности:

$PIC$

Тогда получим равносторонний треугольник $ABO$ со стороной $AB = 12.$ Найдем длину высоты $√ - OM = 12⋅cos60∘ = 6 3,$ значит, $√ - √ - 3h = 6 3,$ откуда $h =6.$

Ответ: 2 или 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#103998

При каких значениях параметра $a$ три различных параболы с уравнениями $y = ax2+ x+ 1; y = x2+ax+ 1; y = x2+ x+ a$ имеют общую касательную? (Точки касания не обязаны совпадать)

Источники: КФУ - 2025, 11.5 (см. malun.kpfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть y = kx + b — касательная. Касание каждой параболы дает 3 уравнения на равенство функций, причем каждое уравнение имеет единственное решение. Какая система тогда получится?

Подсказка 2

У нас есть три уравнения ax² + x + 1 = kx + b, x² + ax + 1 = kx + b, x² + x + a = kx + b. Каждое из них из-за касания имеет единственное решение. Какие три условия тогда можно еще записать?

Подсказка 3

Верно! Условия на равенство дискриминантов нулю. Тогда выходит, что (1-k)² = 4a(1-b), (a-k)² = 4(1-b), (1-k)² = 4(a-b). Как решать такую систему?

Подсказка 4

Точно! Из первого и третьего уравнений легко получить, что b = 0 при любых a или a = 1 при любых b. Какой из двух случаев реализуется?

Подсказка 5

Конечно, a = 1 не подходит, так как тогда две из трех парабол в условии совпадают. Тогда b = 0. Что получится, если это подставить?

Показать ответ и решение

Пусть $y =kx+ b$ — касательная из условия. Выразим условия пересечения прямой $y$ с каждой из парабол:

2 2 2 ax + x+ 1= kx+b, x +ax+ 1= kx+ b, x +x +a= kx+ b

Так как прямая является касательной к каждой из них, значит, у каждого уравнения должно быть единственное решение, получаем систему, приравнивая дискриминант каждого уравнения к нулю: