Тема . Графики функций

.03 Парабола

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела графики функций

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#124249

Постройте график функции и опишите её свойства:

(a) $1 y = 3x2 − 4x+ 4;$

(b) $1 2 y =− 4x + x− 1;$

Источники: "Алгебра, 9 класс, учебник", Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) Для начала найдём координаты вершины параболы.

Абсцисса параболы:

6 x = −-−4-= 4-= //12--=6 0 2⋅ 13 23 /21

Ордината параболы:

(−4)2− 4⋅ 1⋅4 16 − 16 48− 16 //328 y0 = −----4⋅ 1-3-= − --4-3-=− --4---= −-4--= −8 3 3 /1

Таким образом, координата вершины параболы — $(6;− 8).$

Посчитаем значения функции $1 2 y = 3x − 4x +4$ от различных аргументов:

1 2 1 1 y(−1)= 3 ⋅(−1) − 4⋅(−1)+ 4= 3 + 4+ 4= 83

1 2 y(0)= 3 ⋅0 − 4⋅0+ 4=4

1 2 1 1 y(1)= 3 ⋅1 − 4⋅1+ 4= 3//−4//+4= 3

y(2)= 13 ⋅22− 4 ⋅2 +4 = 43 − 8 +4 =113 − 4 =−2 23

y(3)= 1⋅32− 4 ⋅3 +4= 3− 12+ 4= −5 3

y(4) = 1 ⋅42 − 4⋅4+ 4= 16− 16+ 4= 51− 12 =− 62 3 3 3 3

y(5) = 1 ⋅52 − 4⋅5+ 4= 25− 20+ 4= 81− 16 =− 72 3 3 3 3

y(7)= 1⋅72− 4⋅7+ 4= 49− 28 +4 =161− 24= −72 3 3 3 3

1 2 64 1 2 y(8)= 3 ⋅8 − 4⋅8+ 4= 3 − 32 +4 =213 − 28= −63

1 2 y(9)= 3 ⋅9 − 4⋅9+ 4= 27− 36+ 4= −5

1 2 100- 1 2 y(10)= 3 ⋅10 − 4⋅10+4 = 3 − 40+ 4= 333 − 36=− 23

1 2 121 1 1 y(11)= 3 ⋅11 − 4⋅11+4 = 3--− 44+ 4= 403 − 40= 3

y(12)= 13 ⋅122− 4⋅12+ 4=//48/−/ 48+ 4= 4

y(13)= 1⋅132− 4 ⋅13+ 4= 169− 52+4 =561 − 48= 81 3 3 3 3

Составим таблицу значений функции:

|----|---|--|--|----|---|----|-----|---|----|----|---|----|---|--|---| | x |−1 |0 |1 | 2 | 3 | 4 | 5 |6 | 7 | 8 | 9 | 10 |11 |12| 13 | |-y--|81-|4-|1-|−22-|−5-|−62-|−-72-|−8-|−72-|−62-|−5-|−22-|-1-|4-|81-| -------3-----3----3--------3-----3--------3----3--------3---3------3--

Построив точки, координаты которых указаны в таблице, и соединив их, получим график функции $y = 1x2− 4x+ 4: 3$

$PIC$

Опишем свойства этой функции:

$1)$ Если $x= 0,$ то $y = 4.$ $y = 0$ при $√- x= 6± 2 6.$ $y > 0$ при $√ - √ - x∈ (−∞; 6− 2 6)∪ (6+2 6;+∞ ).$ $y < 0$ при $- - x ∈(6− 2√ 6;6+ 2√6).$

$2)$ График функции расположен в $I,$ $II$ и $IV$ координатных четвертях.

$3)$ Вершина параболы находится в точке $(6;−8).$ График функции симметричен относительно прямой $x= 6.$

$4)$ Функция убывает в промежутке $(−∞; 6]$ и возрастает в промежутке $[6;+ ∞).$

$5)$ Наименьшее значение, равное $− 8,$ функция принимает при $x= 0,$ наибольшего значения функция не имеет. Областью значений функции является промежуток $[−8;+ ∞).$

(b) Немного преобразуем функцию $1 2 y =− 4x + x− 1:$

1 1 1 y = −4x2+ x− 1= −4(x2− 4x +4)= −4(x− 2)2

Это парабола $y =x2,$ которую сжали к оси $x$ в $1 1-=4 4$ раза и отразили симметрично относительно оси $x,$ а потом перенесли параллельно вдоль оси $x$ на $2$ единицы вправо. Её вершина находится в точке $(2;0),$ а ветви направлены вниз.

Посчитаем значения функции $y = − 1(x− 2)2 4$ от различных аргументов:

9 y(− 4) =− 14(− 4− 2)2 = − 14 ⋅(−6)2 = −-//36-= −9 /41

1 2 1 2 25 1 y(− 3)=− 4(− 3− 2) = −4 ⋅(−5) = − 4 =− 64 = −6,25

4 y(− 2) =− 1(− 2− 2)2 = − 1 ⋅(−4)2 = −-//16-= −4 4 4 /41

y(−1)= − 1(−1− 2)2 =− 1⋅(−3)2 =− 9= −21 =− 2,25 4 4 4 4

1 2 1 2 /41 y(0)= −4(0− 2) = −4 ⋅(− 2) = −-4- =− 1 /1

1 2 1 2 1 y(1)=− 4(1− 2) = −4 ⋅(−1) = −4 =− 0,25

1 2 1 2 1 y(3)= −4(3− 2) = − 4 ⋅1 = −4 = −0,25

1 y(4)= − 1(4− 2)2 =− 1⋅22 = −-/4-= −1 4 4 /41

y(5)= − 1(5− 2)2 =− 1⋅32 = − 9 =− 21= −2,25 4 4 4 4

1 1 164 y(6)= −4(6− 2)2 = −4 ⋅42 =− //-=− 4 /41

1 2 1 2 25 1 y(7)= −4(7− 2) = −4 ⋅5 =− 4 = −64 =− 6,25

9 y(8)= − 1(8− 2)2 = − 1 ⋅62 =− //36-=− 9 4 4 /41

Составим таблицу значений функции:

|--|---|-----|---|-----|---|-----|--|-----|---|------|---|-----|---| |x-|−4-|-−3--|−2-|-−-1-|-0-|--1--|-2|--3--|-4-|--5---|6--|-7---|8--| -y--−9--−6,25--−4--−2,25-−-1-−-0,25--0-−-0,25-−-1-−-2,25--−4--−6,25--−9-|

Построив точки, координаты которых указаны в таблице, и соединив их, получим график функции $1 y = −4x2 +x− 1:$

$PIC$

Опишем свойства этой функции:

$1)$ Если $x= 0,$ то $y = −1.$ $y = 0$ при $x= 2.$ $y < 0$ при $x ⁄= 2.$ Положительных значений функция не принимает.

$2)$ График функции расположен в нижней полуплоскости.

$3)$ Вершина параболы находится в точке $(2;0).$ График функции симметричен относительно прямой $x = 2.$

$4)$ Функция возрастает в промежутке $(−∞; 2]$ и убывает в промежутке $[2;+ ∞).$

$5)$ Наибольшее значение, равное $0,$ функция принимает при $x= 2,$ наименьшего значения функция не имеет. Областью значений функции является промежуток $(−∞;0].$

Абсцисса параболы:

-3- 3 1 x0 =− 2⋅1 = −2 = −12 = −1,5

Ордината параболы:

32 − 4⋅1⋅0 9 1 y0 = −--4-⋅1----=− 4 = −24 =− 2,25

Таким образом, координата вершины параболы — $(−1,5;−2,25).$

Посчитаем значения функции $y = x2 +3x$ от различных аргументов:

y(−5)=(−5)2+3 ⋅(−5)= 25− 15 =10

y(−4)= (− 4)2+ 3⋅(− 4)=16− 12= 4

y(−3)=(−3)2+ 3⋅(−3)= /9/−/9= 0

y(−2)= (−2)2+ 3⋅(−2)= 4− 6 =− 2

y(−1)= (−1)2+ 3⋅(−1)= 1− 3 =− 2

2 y(0)=0 + 3⋅0= 0

2 y(1)=1 + 3⋅1= 1+ 3= 4

y(2)= 22+ 3⋅2= 4+6 =10

Составим таблицу значений функции:

|--|---|---|---|---|-----|---|--|--|---| |x-|−5-|−4-|−3-|−-2|-−1,5-|−-1|-0|1-|2--| |y |10 | 4 | 0 |− 2|− 2,25|− 2| 0|4 |10 | ---------------------------------------

Построив точки, координаты которых указаны в таблице, и соединив их, получим график функции $y = x2+ 3x:$

$PIC$

Опишем свойства этой функции:

$1)$ Если $x= 0,$ то $y = 0.$ $y = 0$ при $x= −3$ и $x= 0.$ $y > 0$ при $x ∈(−∞;− 3)∪(0;+∞ ).$ $y < 0$ при $x ∈(−3;0).$

$2)$ График функции расположен в $I,$ $II$ и $III$ координатных четвертях.

$3)$ Вершина параболы находится в точке $(− 1,5;− 2,25).$ График функции симметричен относительно прямой $x =− 1,5.$

$4)$ Функция убывает в промежутке $(−∞; −1,5]$ и возрастает в промежутке $[− 1,5;+ ∞).$

$5)$ Наименьшее значение, равное $− 2,25,$ функция принимает при $x =−1,5,$ наибольшего значения функция не имеет. Областью значений функции является промежуток $[−2,25;+∞ ).$

Ответ:

(a)

$PIC$

Если $x= 0,$ то $y = 4;$ $y = 0$ при $√ - x= 6± 2 6;$ $y > 0$ при $√- √- x ∈(−∞;6− 2 6)∪(6+ 2 6;+∞);$ $y < 0$ при $√- √ - x∈ (6− 2 6;6+ 2 6);$ график функции расположен в $I,$ $II$ и $IV$ координатных четвертях; вершина параболы находится в точке $(6;−8);$ график функции симметричен относительно прямой $x= 6;$ функция убывает в промежутке $(−∞;6]$ и возрастает в промежутке $[6;+∞ );$ наименьшее значение, равное $− 8,$ функция принимает при $x= 0,$ наибольшего значения функция не имеет; областью значений функции является промежуток $[− 8;+∞ ).$

(b)

$PIC$

Если $x= 0,$ то $y = −1;$ $y =0$ при $x= 2;$ $y < 0$ при $x ⁄=2;$ положительных значений функция не принимает; график функции расположен в нижней полуплоскости; вершина параболы находится в точке $(2;0);$ график функции симметричен относительно прямой $x =2;$ функция возрастает в промежутке $(−∞;2]$ и убывает в промежутке $[2;+∞ );$ наибольшее значение, равное $0,$ функция принимает при $x= 2,$ наименьшего значения функция не имеет; областью значений функции является промежуток $(−∞;0].$

(c)

$PIC$

Если $x= 0,$ то $y =0;$ $y = 0$ при $x= −3$ и $x= 0;$ $y > 0$ при $x∈ (−∞; −3)∪(0;+ ∞);$ $y < 0$ при $x∈ (−3;0);$ график функции расположен в $I,$ $II$ и $III$ координатных четвертях; вершина параболы находится в точке $(−1,5;−2,25);$ график функции симметричен относительно прямой $x= −1,5;$ функция убывает в промежутке $(− ∞;−1,5]$ и возрастает в промежутке $[−1,5;+∞);$ наименьшее значение, равное $− 2,25,$ функция принимает при $x= −1,5,$ наибольшего значения функция не имеет; областью значений функции является промежуток $[− 2,25;+∞).$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

.03 Парабола

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ