.05 Смешанные графики

Первое решение.

Решим эту задачу, используя определение модуля.

(a) При функция эквивалентна функции при — функции Преобразуем каждую из этих функций, найдя корни квадратного уравнения под знаком модуля и разложив многочлен на скобки:

При и первая функция ( эквивалентна функции при — функции

При и вторая функция функция ( эквивалентна функции при — функции

Подытожим, что у нас есть: при график исходной функции совпадает с графиком функции при — с графиком при — с графиком а при — с графиком

Изобразим графики функций и а потом “сотрём” лишнее:

(b) При можно преобразовать функцию следующим образом:

Аналогично, при можно преобразовать функцию следующим образом:

При функция эквивалентна функции а при — функции

При функция эквивалентна функции а при — функции

Подытожим, что у нас есть: при график исходной функции совпадает с графиком функции при — с графиком при — с графиком а при — с графиком

Изобразим графики функций и а потом “сотрём” лишнее:

Второе решение.

Решим эту задачу, используя основные преобразования графиков функций.

(a) Заметим, что функция эквивалентна функции т. к.

Обозначим Тогда Значит, чтобы изобразить график функции необходимо:

Изобразить график функции

Отобразить часть графика, расположенную ниже оси абсцисс, симметрично относительно неё:

Заменить часть графика, расположенную левее оси ординат, на симметричную правой части:

Это и будет искомый график.

(b)  — это график функции нижнюю часть которого отразили относительно оси абсцисс. — это график функции со сдвигом вдоль оси ординат вниз на единиц. — это график функции нижнюю часть которого отразили относительно оси абсцисс. — это график функции со сдвигом вдоль оси ординат вверх на единицы. — это график функции нижнюю часть которого отразили относительно оси абсцисс. — это график функции со сдвигом вдоль оси ординат вниз на единицы.

Таким образом, чтобы построить график функции необходимо:

Изобразить график функции

Сдвинуть график вдоль оси ординат вниз на единицы:

Отобразить часть графика, расположенную ниже оси абсцисс, симметрично относительно неё:

Сдвинуть график вдоль оси ординат вверх на единицы:

Отобразить часть графика, расположенную ниже оси абсцисс, симметрично относительно неё (на самом деле ничего не произойдёт, т. к. график и так лежит целиком выше оси абсцисс):

Сдвинуть график вдоль оси ординат вниз на единиц:

Отобразить часть графика, расположенную ниже оси абсцисс, симметрично относительно неё:

Это и будет искомый график.