Тема . Графики функций

.05 Смешанные графики

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела графики функций
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#125650

Постройте график функции:

(a)      3
y =|x-−x-4x-|;

(b)     x− 1 2
y = |x−-1|x ;

(c)    x3 − 4x
y =--|x|-;

(d) y = x-⋅|x − 2|⋅|x+ 2|.
    |x|

Источники: "Графики функций, представляющих сочетание квадратичной функции и модуля", фестиваль педагогических идей "Открытый урок", ИД "Первое сентября" (см. urok.1sept.ru)

Показать ответ и решение

(a) ОДЗ:

x⁄= 0

На ОДЗ:

    3        1  2
y = |x-− 4x|= |/x(x-−-4)-|= |x2− 4|
      x         /x1

    2
y = |x − 4| — это график функции     2
y = x − 4,  нижнюю часть которого отразили относительно оси абсцисс.

Изобразим график функции     2
y =x − 4:

PIC

Отобразим часть графика, расположенную ниже оси абсцисс, симметрично относительно неё:

PIC

И, наконец, выколем точку (0;4),  т. к. x= 0  не удовлетворяет ОДЗ исходной функции:

PIC

Это и есть искомый график.

(b) ОДЗ:

|x− 1|⁄=0

x− 1⁄= 0| + 1

x⁄= 1

Нули модуля:

x− 1= 0| + 1

x= 1

При x< 1  функция y = x-− 1-x2
   |x − 1|  эквивалентна следующей:

y =--x−-1-x2 = − x−-1x2
   − (x − 1)    x− 1

На ОДЗ:

         1
y = −-/x-//−/ 1-x2 = −x2
     /x /− 11

При x> 1  функция    x − 1 2
y = |x-− 1|x  эквивалентна следующей:

   x − 1
y = x-− 1x2

На ОДЗ:

      // 1
y =-/x-−// 1-x2 = x2
    /x − 11

Изобразим графики функций      2
y = −x  и     2
y = x ,  а потом “сотрём” лишнее:

PIC

Не забудем выколоть точки (1;−1)  и (1;1),  т. к. x= 1  не удовлетворяет ОДЗ исходной функции:

PIC

Это и есть искомый график.

(c) ОДЗ:

|x|⁄= 0

x⁄= 0

Нули модуля:

x= 0

При x< 0  функция     3
y = x-−-4x
     |x| эквивалентна следующей:

y = x3−-4x= − x(x2−-4)
     −x        x

На ОДЗ:

     1x(x2− 4)
y = − /-x-----=− (x2− 4)=4 − x2
        /1

При x> 0  функция y = x3−-4x
     |x| эквивалентна следующей:

    x(x2− 4)
y = ---x---

На ОДЗ:

    1x(x2− 4)
y =-/--x---- =x2− 4
       /1

Изобразим графики функций y = 4− x2  и y = x2− 4,  а потом “сотрём” лишнее:

PIC

Не забудем выколоть точки (0;−4)  и (0;4),  т. к. x= 0  не удовлетворяет ОДЗ исходной функции:

PIC

Это и есть искомый график.

(d) ОДЗ:

|x|⁄= 0

x⁄= 0

При x< 0  функция y = x-⋅|x− 2|⋅|x +2|
   |x| эквивалентна следующей:

   x--               x 2
y = −x ⋅|(x − 2)(x +2)|=− x|x − 4|

На ОДЗ:

      1
y = −-/x-|x2 − 4|= −|x2− 4|
     /x1

y = −|x2− 4| — это график функции y =|x2− 4|,  отражённый симметрично относительно оси абсцисс, а график функции y =|x2− 4| — это график функции y = x2− 4,  нижнюю часть которого отразили относительно оси абсцисс.

При x> 0  функция    x
y = |x| ⋅|x− 2|⋅|x +2| эквивалентна следующей:

y = x ⋅|(x − 2)(x +2)|= x|x2− 4|
   x               x

На ОДЗ:

   -/x1 2       2
y = /x |x − 4|= |x − 4|
     1

y = |x2− 4| — это график функции y = x2− 4,  нижнюю часть которого отразили относительно оси абсцисс.

Итак, изобразим график функции y = x2− 4:

PIC

Отобразим часть графика, расположенную ниже оси абсцисс, симметрично относительно неё:

PIC

Отобразим часть графика, расположенную в левой полуплоскости, симметрично относительно оси абсцисс:

PIC

Не забудем выколоть точки (0;−4)  и (0;4),  т. к. x= 0  не удовлетворяет ОДЗ исходной функции:

PIC

Ответ:

(a) 

PIC

(b) 

PIC

(c) 

PIC

(d) 

PIC

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!