Изумруд 2020
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть 
— количество способов представить число 
в виде суммы факториалов натуральных чисел, а 
— количество способов
представить число 
в виде суммы факториалов натуральных чисел (наборы, отличающиеся перестановкой чисел, считаются
одинаковыми). Докажите, что 
Источники:
Подсказка 1
Когда нам нужно доказать равномощность некоторых множеств (в нашем случае это множества разложений в сумму факториалов), имеет смысл построить биекцию между такими множествами (взаимно однозначное соответствие).
Подсказка 2
Давайте разложим 2019 в сумму факториалов и попробуем что-то сказать хотя бы про одно слагаемое.
Подсказка 3
Давайте зацепимся за то, что 2019 нечётно!
Подсказка 4
Раз 2019 нечётно, то хотя бы один факториал нечётный! А много ли их таких? ;)
Пусть 
— некоторое представление числа 
в виде суммы факториалов натуральных чисел. Поскольку
эта сумма нечётна, есть хотя бы одно нечётное слагаемое. Нечётный факториал единственный и равен единице, поэтому, без ограничения
общности, 
Тогда равенство примет вид
и является представлением числа 
в виде суммы факториалов натуральных чисел. То есть из каждого представления числа 
мы однозначно получили представление числа 
С другой стороны, взяв любое представление
и добавив к нему 
получим однозначно представление
Значит, количества представлений чисел 
и 
совпадают.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
