Вписанная сфера
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В основании пирамиды лежит трапеция 
. Сфера радиуса 1 касается плоскости основания пирамиды и
плоскостей её боковых граней 
и 
. Найдите отношение, в котором делит объём пирамиды плоскость 
, где 
- точка
касания сферы с плоскостью 
, если грань 
перпендикулярна плоскости основания, а высота пирамиды равна
4.
Источники:
Подсказка 1
Так как сфера касается трех граней, сразу обозначим, что она касается плоскости ADS в точке R, а плоскости ABCD в точке P, O — центр сферы. Что можно сказать про точки T, P, R? Хотелось бы нарисовать рисунок как можно аккуратнее, как тогда удобнее всего было бы работать с перпендикулярностью грани и основания и высотой в этой грани?
Подсказка 2
Можем считать, что R лежит на высоте AH пирамиды и плоскости ADS. А что если T, R, P и отрезок RH лежат в одной плоскости?
Подсказка 3
Несложно показать, что точки R, O, P, H, S лежат в одной плоскости. А что можно сказать о связи этой плоскости с AD и BC? Обратите внимание на то, что на картинке много прямых углов ;)
Подсказка 4
Отлично, AD перпендикулярен плоскости SHP! А что можно сказать про отрезок OT, который является радиусом сферы?
Подсказка 5
Супер, теперь мы доказали, что OT также принадлежит плоскости SPH! А что можно сказать про то, как выглядит ORHP? Быть может, посчитаем отрезки касательных, не зря ведь в условии давали длину высоты!
Подсказка 6
ORHP является квадратом! Также мы посчитали отрезки ST, SR, KT и KP. Давайте теперь подберемся ближе к тому, что нам надо найти и построим сечение пирамиды ADLN, содержащее точку T. Что можно сказать про связь LN с AD, BC?
Подсказка 7
Именно, LN параллельно BC и AD! Было бы хорошо узнать, а в каком вообще отношении делит LN отрезки SC и SB? И обратите внимание на отрезки LD и AN, CD и AB, что так и хочется с ними сделать ? ;)
Подсказка 8
Продлите LD и AN до пересечения в точке F и AB с CD до пересечения в точке Q! Осталось посчитать некоторые нужные отношения отрезков и отношения объемов при помощи общих высот ;)
Так как плоскость 
перпендикулярна 
высота 
пирамиды 
лежит в грани 
Без ограничения общности
можно считать, что сфера касается плоскости 
в точке 
лежащей на высоте 
(этого можно добиться, если выполнять перенос
сферы параллельно плоскости основания пирамиды).
Пусть сфера касается плоскости 
в точке 
Докажем, что точки 
и 
лежат в одной плоскости и эта плоскость
содержит 
. Пусть 
— центр сферы. 
— перпендикуляр к плоскости 
так как это отрезок на высоте
пирамиды. 
— точка касания сферы и 
поэтому 
и 
перпендикулярны. Таким образом, 
и 
параллельны, поэтому 
лежат в одной плоскости (тогда и 
лежит в этой плоскости). 
так как эти
отрезки являются основаниями трапеции 
Тогда плоскость 
параллельна прямой 
Докажем, что
Мы уже знаем, что 
Теперь заметим, что все три угла 
и 
— прямые, поэтому 
—
прямоугольник. Тогда 
— перпендикуляр к плоскости 
так как 
и 
перпендикулярны. Таким образом,
Тогда, действительно, 
и 
поэтому 
Точка 
лежит в плоскости
Эта плоскость перпендикулярна 
при этом 
— прямая, перпендикулярная 
Тогда 
тоже лежит в плоскости
Ранее мы отмечали, что 
— прямоугольник. Так как 
— радиусы сферы, то на самом деле этот прямоугольник
является квадратом. 
тогда 
— отрезки касательных. Пусть плоскость 
пересекает 
в точке 
Пусть 
(эти отрезки действительно равны, как отрезки касательных). По теореме Пифагора для 
Решаем это уравнение и получаем 
Теперь через точку 
проведем прямую 
параллельную 
причем 
и
Тогда 
— это сечение пирамиды плоскостью 
Действительно, плоскость 
пересекает 
по прямой,
параллельной 
при этом 
Поэтому, действительно, линия пересечения 
и 
параллельна 
поэтому
совпадает с 
Теперь по теореме Фалеса для углов 
и 
получаем: 
и аналогично 
Продлим 
и 
до пересечения в точке 
По условию 
поэтому точки 
и 
соответственно середины 
и 
Пусть 
Ясно, что 
Применяем теорему Менелая к 
и прямой 
поэтому 
Пусть 
— объем пирамиды 
Пирамида 
имеет общую высоту 
с нашей
пирамидой 
Треугольники 
и 
подобны с коэффициентом 
поэтому 
Тогда получаем, что
причем 
— основание пирамиды 
если принять 
за ее вершину. По формуле объема
пирамиды:
По теореме о пирамидах с общим трехгранным углом при вершине:
Таким образом, 
Снова по теореме о пирамидах с общим трехгранным углом при вершине:
Таким образом, 
Тогда 
— одна из частей, на которые плоскость 
разбивает исходную пирамиду 
Объем второй части равен
Тогда требуемое по условию отношение равно
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
