Тема ДВИ в МГУ - задания по годам

ДВИ 2023

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела дви в мгу - задания по годам

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#90319Максимум баллов за задание: 7

Чему равна сумма выражений $√2023+-t2$ и $√999+t2$ , если их разность равна $8$ ?

Источники: ДВИ - 2023, вариант 238, задача 2 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте вспомнить какую-нибудь формулу, которая связывает сумму и разность двух чисел

Подсказка 2

Давайте воспользуемся формулой а² - b² = (a-b)(a+b)! Отсюда мы без труда сможем найти искомую сумму

Показать ответ и решение

Обозначим $a= √2023+-t2, b= √999+-t2.$ По условию

a− b= 8

Рассмотрим $a2− b2$ :

a2− b2 =(∘2023+-t2)2− (∘999-+t2)2 = 2023+t2− 999 − t2 = 1024

Получили систему:

{ a− b =8 1024- a2 − b2 = 1024 =⇒ (a− b)(a +b)= 1024 =⇒ a+ b= 8 =128

Ответ: 128

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#90406Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2 √- 2 √- cos x+ 3sin x =(1+ 3)(cosx − cosxsinx +sinx).

Источники: ДВИ - 2023, вариант 235, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте раскроем скобки в правой части. У нас есть много одинаковых множителей, быть может, перенесем всё в одну сторону и разложим на множители?

Подсказка 2

Мы получим совокупность, в которой сумма синуса и косинуса 0. Как можно решить такое уравнение?

Подсказка 3

Методом вспомогательного угла! А как решить второе уравнение совокупности?

Подсказка 4

А второе решим с помощью оценки!

Показать ответ и решение

Раскроем скобки в правой части равенства.

2 √ - 2 √ - √- √- cosx + 3sin x= cosx − cosxsinx+ sinx + 3cosx− 3cosxsinx+ 3 sinx

Разложим выражение на множители:

(√3-sin2x+ √3cosx sinx)+(cos2x+ cosxsinx)− (1+ √3)(cosx+ sinx)= 0

(cosx+ sinx)(√3sin x+ cosx− 1− √3)= 0

[ c√osx+ sinx= 0 √- 3sinx+ cosx − 1− 3 =0

Первое уравнение решим методом вспомогательного угла:

√- √ - -2-cosx+ --2sinx =0 2 2

sin(x+ π)= 0 4

π x =− 4 + πk,k∈ ℤ

Второе — не имеет решений, так как $√- √- 3sinx+ cosx≤ 3+ 1.$ При этом равенство достигается только при $sin x= cosx= 1,$ что противоречит основному тригонометрическому тождеству.

Ответ:

$x =− π+ πk (k∈ ℤ) 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#90409Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

4 ( π) ( π) ( π ) ( π) cos x− cosx + 3 cosx − 3 = 2sin x+ 6 sin x− 6 .

Источники: ДВИ - 2023, вариант 233, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что нам больше всего не нравится в этом уравнении? Да как будто бы вообще всё, но давайте начнём с того, что понизим степень у косинуса. Конечно, произведения косинусов и синусов с разными аргументами нам совсем неудобны в работе... Подумайте, как от них можно избавиться!

Подсказка 2

После того, как мы понизили степень у косинуса и воспользовались формулами преобразования произведения в сумму, мы получаем квадратное уравнение относительно cos(2x). Решите данное уравнение и отсейте лишние корни!

Показать ответ и решение

Преобразуем произведение косинусов в сумму, а также воспользуемся формулой понижения степени.

(cos2x +1)2 1( 2π) π ---2--- − 2 cos2x +cos3- = cos3 − cos2x

2 (cos2x+-1) − 1cos2x + 1 − 1+ cos2x= 0 4 2 4 2

(cos2x+-1)2 + 1 cos2x− 1 =0 4 2 4

Сделаем замену $t= cos2x, t∈ [−1;1].$

(t+-1)2- 1 1 4 + 2t−4 = 0

t2+ 2t+1 +2t− 1= 0 ⇐ ⇒ t2+ 4t=0

t(t+4)= 0

Получаем следующие решения

[ t= 0 t= −4 не подходит под ограничения

Итого

π t= 0 ⇐⇒ cos2x =0 ⇐ ⇒ 2x= 2 + πn, n∈ ℤ

Ответ:

$π + πn, n ∈ℤ 4 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#90508Максимум баллов за задание: 7

Дан куб с ребром 1, нижним основанием $ABCD$ и боковыми ребрами $AA ,BB ,CC ,DD 1 1 1 1$ . На ребрах $A D ,BB ,CC ,AD 1 1 1 1$ отмечены соответственно точки $K,L,M,N$ , так что $A1K =KD1$ , $BL :LB1 = 7:1$ , $CM :MC1 = DN :NA = 4:3$ . Найдите площадь сечения тетраэдра $KLMN$ , параллельного ребрам $KL$ и $MN$ , имеющего форму ромба.

Источники: ДВИ - 2023, вариант 236, задача 7 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Начнём с хорошего чертежа! Возможно, будет удобно отдельно вынести тетраэдр KLMN, чтобы удобнее было работать с сечением. В каком случае сечение тетраэдра будет ромбом? А что нам нужно, чтобы найти его площадь?

Подсказка 2

Будем вычислять стороны ромба и угол между ними. Заметим также, что этот угол равен углу между рёбрами KL и MN тетраэдра. Итак, пусть вершина ромба делит ребро KN в отношении х/у, что можно сказать о том, в каких отношениях вершины ромба делят другие рёбра тетраэдра? Параллельность нам поможет это установить!

Подсказка 3

При помощи теоремы Пифагора можно вычислить любое ребро тетраэдра. А подобие треугольников поможет нам после этого отыскать сторону ромба. Но как же найти угол?

Подсказка 4

KL и MN, а также другие пары параллельных им прямых, не выглядят удобными для построения угла между прямыми напрямую, однако куб — очень хорошая фигура для работы с декартовой системой координат! Введите координаты и при помощи работы с векторами определите искомый угол. Остаётся лишь подставить найденные значения в формулу площади ромба и задача убита!

Показать ответ и решение

Пусть $c$ — длина стороны ромба, $α$ — его меньший угол. Тогда искомая площадь равна $c2sinα,$ причем угол $α$ равен углу между прямыми $KL$ и $MN,$ т.к. сечение параллельно ребрам $KL$ и $MN.$

$PIC$

Найдем $c.$ Пусть сечение пересекает стороны $KN,LN,LM, KM$ в точках $H,I,J,O$ соответственно. Тогда $HI ∥ KL$ и $IJ ∥NM.$ Пусть $KH$ и $HN$ имеют длину $x$ и $y$ соответственно. По теореме о пропорциональных отрезках для параллельных прямых $HI$ и $KL$ понимаем, что

LI-= KH-= x IN HN y

Из подобия треугольников $NHI$ и $NKL$ и треугольников $LIJ$ и $LNM$ получаем

-x-- -y-- c= x+ yNM = x+yKL

Отсюда $KL x= y⋅NM-,$ то есть

1 c= -1-+--1- KL NM

По теореме Пифагора

∘ ---1---1- 9 ∘ ---16---16 9 KL = 1+ 4 + 64 = 8, NM = 1+ 49-+ 49 = 7,

Отсюда $3 c= 5.$

Найдем угол $α$ — угол между $KL$ и $MN.$ Он равен углу между направляющими для этих прямых векторами $( ) 12,1,18$ и $( ) − 47,1,− 47 .$ Их скалярное произведение равно $( ) 1− 12 + 18 ⋅ 47 = 914.$ Следовательно,

cosα= -9 ⋅ 8⋅ 7 = 4 14 9 9 9

Соответственно,

√-- sinα = -65 9

Значит, искомая площадь равна

( 3)2 √65 √13 5 ⋅ 9 = 5√5-

Ответ:

$√13 5√5-$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#90509Максимум баллов за задание: 7

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания равной 1, если известно, что плоские углы при вершине равны углам наклона боковых рёбер к плоскости основания.

Источники: ДВИ - 2023, вариант 233, задача 7 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть пирамида — SABCD и её высота — SН. Плоский угол при вершине назовём α. SA = x. Отметьте равные углы и давайте двумя способами найдём cos(α): по теореме косинусов из △SAD и как отношение АН/SA

Подсказка 2

Решение квадратного уравнения поможет нам вычислить х. Какой из корней получился посторонним?

Подсказка 3

ОТТ поможет нам найти sin(α) и затем, с его помощью, высоту. Осталось лишь внимательно поработать с некрасивыми числами и записать ответ!

Показать ответ и решение

Пусть $SABCD$ — данная правильная четырехугольная пирамида с вершиной $S$ и высотой $SH, AB = 1.$ Обозначим $∠BSC = ∠SCH = ∠α.$

$PIC$

Из прямоугольного треугольника $CSH$ находим, что

1√- SC = --CH----= --2-= √-1--- cos∠SCH cosα 2cosα

Пусть $M$ — середина ребра $BC.$ Из прямоугольного треугольника $CSM$ находим, что

--CM---- --12--- --1---- SC = sin∠CSM = sin(α2) = 2sin(α2)

Значит,

( ) √-1---= --1-α =⇒ √2sin α-= cosα 2cosα 2sin 2 2

2(α) 2 2 sin 2 = cosα

2 2 1− cosα =cos α =⇒ cos α+ cosα− 1= 0 =⇒

√5−-1 cosα = 2

Тогда

∘-------- ∘ ---√----- ∘ ---√-- tg α= -1---− 1= 3+--5− 1= 1+--5 cos2α 2 2

√- ∘---√-- ∘ ----- SH = CH ⋅tgα= -2-⋅ 1-+--5= 1 1+√ 5 2 2 2

Следовательно,

∘ ----- ∘ --√-- VSABCD = 1SABCD ⋅SH = 1⋅1⋅ 1 1+√5-= --1+--5 3 3 2 6

Ответ:

$√1+-√5 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#90510Максимум баллов за задание: 7

Пересечение плоскости и правильной треугольной пирамиды является квадратом со стороной 1. Найдите длину ребра основания пирамиды, если известно, что двугранный угол между плоскостью боковой грани и плоскостью основания равен $√1 arccos 3.$

Источники: ДВИ - 2023, вариант 238, задача 7 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть исходная пирамида — SABC, SA = b. AB = a. Знание о том, что пирамида правильная, помогает нам понять, куда упадёт высота этой пирамиды, а значит — построить косинус двугранного угла. В каком случае сечение будет квадратом, как связаны его стороны с рёбрами пирамиды?

Подсказка 2

Выразите через а и b все отрезки, необходимые для нахождения косинуса, после этого можно будет установить связь между a и b. А как нам определить отношение стороны квадрата к ребру а?

Подсказка 3

Пусть вершина квадрата-сечения делит ребро АВ в отношении m/n, в каком отношении делится ребро SB этим же сечением? При помощи подобия треугольников и известного отношения a/b установите численно отношение m/n. После этого, подстановкой известных отношений, вычислите а.

Показать ответ и решение

Поскольку сечение — четырёхугольник, плоскость пересекает все грани. Обозначим вершшины основания через $A,B,C$ и вершину пирамиды через $D$ . Тогда можно считать, что секущая плоскость пересекает рёбра $AB,BD, DC,CA$ в точках $K,L,M,N$ соответственно. Поскольку $KL∥MN$ , прямая $KL$ параллельна всей плоскости $ADC$ . Стало быть, $MN ∥KL ∥AD$ . Аналогично, $KN ∥BC∥LM$ . Положим $a =AB,b =AD$ .

$PIC$

Тогда косинус двугранного угла при основании равен

∘-2a√3---= ∘-----1------, b2− a2 ( (b)2 ) 4 3 4 a − 1

что по условию равно $1√3$ , откуда $ba = √12$ . Из того, что $KL∥AD,LM ∥BC$ получаем:

-1= LM-= DL- = DB-− LB-= 1− LB-= 1− KL-= 1− 1. a BC DB DB DB AD b

Таким образом,

√ - 1 =1− --2, a a

то есть $√- a =1+ 2$ .

Ответ:

$a =1+ √2$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#90688Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

| 2 2 | 2 2 |log3x− log2x2|=log3x+ log2x2 − 2.

Источники: ДВИ - 2023, вариант 238, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу запишем ОДЗ ;) Перед нами выражение, в котором есть модуль, быть может, тогда раскроем его? Какие случаи нужно разобрать?

Подсказка 2

Разберите случаи, когда подмодульное выражение не меньше нуля и когда оно меньше нуля!

Подсказка 3

Заметим, что многие слагаемые с двух сторон сокращаются, что делает решение простым ;) А какие значения могут принимать логарифмы?

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

(| 2x> 0 { 2x⁄= 1 =⇒ x ∈(0;1) ∪( 1;+ ∞) |( 2 2 x> 0

Разберем случаи.

$1)log2x − log2 2 ≥0: 3 2x$

2 2 2 2 log3x − log2x2= log3x +log2x2− 2

⌊ x =1 — не подходит log22x2= 1 =⇒ log22x= ±1 =⇒ |⌈ x = 1 4

$2)log23x − log22x2 <0:$

− log23x+ log22x2= log23x+ log22x2− 2

⌊ x= 3 — не подходит log23x= 1 =⇒ log3x= ±1 =⇒ |⌈ 1 x= 3

Ответ:

$1 , 1 4 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#91242Максимум баллов за задание: 7

Найдите наименьшее возможное значение выражения

-c−-b--- ---2b--- ---4c--- a+2b+ c + a+ b+2c −a +b+ 3c

при положительных $a,b,c$ .

Источники: ДВИ - 2023, вариант 234, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Работать с суммой дробей, в знаменателях которых стоят суммы, не очень удобно. Что можно сделать, чтобы в знаменателях были одночлены?

Подсказка 2

Заменим знаменатели на x, y, z и выразим через них числители. Что можно сделать с полученным выражением, чтобы его упростить?

Подсказка 3

Разобьем дроби и рассмотрим пары вида x/y и y/x. С помощью какого неравенства можно оценить их сумму?

Подсказка 4

С помощью неравенства о средних! Осталось лишь понять, в каких случаях достигается равенство, и найти такие a, b, c ;)

Показать ответ и решение

Положим

x= a+ 2b+c, y = a+b+ 2c, z = a+ b+3c

Тогда $x,y,z$ также положительны,

c= z− y, b= x+ z− 2y, c− b= y− x

и исходное выражение переписывается как

--c− b--+---2b---− ---4c----= y-− x + 2x-+2z−-4y− 4z−-4y-= a+ 2b+c a +b+ 2c a+ b+3c x y z

y x z y −9+ x + 2y +2y +4z

В силу неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим

y + 2x≥ 2√2 и 2 z+ 4y≥ 4√2 x y y z

Причем равенства достигаются при $y = x√2$ и $z = y√2,$ то есть при

{ a+ b+ 2c=(a+ 2b+c)√2 a+ b+ 3c=(a+ b+ 2c)√2

Вычитая из второго уравнения первое, получаем $c=(c− b)√2,$ откуда $b√2= c(√2-− 1),$ то есть $c= b(2+ √2).$ Подставляя $c= b(2 +√2)$ в любое из двух уравнений, получаем $a(√2− 1)=b(3− 2√2 ),$ то есть $a= b(√2-− 1).$ Таким образом, например, при $a =√2-− 1, b=1, c=2 +√2-$ равенства $y = x√2$ и $z = y√2$ имеют место и, стало быть, исходное выражение достигает своего наименьшего значения $− 9+2√2 +4√2-= 6√2-− 9.$

Ответ:

$6√2 − 9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#91243Максимум баллов за задание: 7

Положительные числа $a,b,c$ удовлетворяют соотношению

√ -- √-- √ -- a bc+ b ca+ c ab =1.

Найдите наименьшее возможное значение выражения $a +b+ c$ .

Источники: ДВИ - 2023, вариант 236, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем как-то связать a+b+c с выражением из условия. Так как нам хочется найти минимум a+b+c, то хочется оценить сверху выражение из условия. А в каком известном неравенстве присутствуют произведения в корнях?

Подсказка 2

В силу неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим мы можем оценить выражение из условия!

Подсказка 3

1 ≤ ab + bc + ac. Когда достигается равенство? А давайте теперь вспомним выражение, в котором присутствует a+b+c и ab+bc+ac!

Подсказка 4

Оценим (a+b+c)²!

Показать ответ и решение

В силу неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим

√ -- √-- √ -- b+c- c+-a a+-b 1 =a bc+ b ca+ c ab≤a ⋅ 2 +b⋅ 2 + c⋅ 2 = ab+ bc+ ac

При этом равенство достигается при $a =b =c.$ С другой стороны,

2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 (a+b+ c) =a + b +c + 2(ab+ bc+ac)= 2((a − 2ab+ b )+(b − 2bc+c )+ (a − 2ac +c ))+ 3(ab+ bc+ac)≥ 3(ab+bc+ ac)

При этом равенство, опять же, достигается при $a= b= c.$ Таким образом,

√- √ --------- √ - a+b +c≥ 3⋅ ab +bc+ ac ≥ 3

и равенство достигается при $-1 a =b= c= √3.$ Остается убедиться, что при таких значениях $a, b, c$ данное в условии соотношение имеет место. Стало быть наименьшее значение выражения $a+ b+ c$ равно $√- 3.$

Ответ:

$√3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#91244Максимум баллов за задание: 7

Действительные числа $a,b,c$ удовлетворяют неравенствам $0< a< 1$ , $0< b< 1$ , $0< c< 1$ . Найдите наибольшее возможное значение выражения

∘4------ 4∘------ 4∘ ------ a(1− b)+ b(1− c)+ c(1− a).

Источники: ДВИ - 2023, вариант 238, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам хочется сверху оценить выражение, в котором присутствуют корни из произведений. А в каком известном неравенстве они тоже присутствуют?

Подсказка 2

Воспользуемся неравенством между средними арифметическим и геометрическим! Но как добиться корня не второй степени, а четвертой?

Подсказка 3

Применить его последовательно 2 раза!

Подсказка 4

Оцените при помощи неравенства между средними арифметическим и геометрическим ((x₁+ x₂)/2 + (x₃+ x₄)/2)/2

Показать ответ и решение

В силу неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим для любых положительных $x , x , x , x 1 2 3 4$ справедливо

x + x +x + x x1+x2+ x3+x4 √x-x-+ √x-x- √------- -1---24-3---4= --2---2--2--≥ --1-22---3-4≥ 4x1x2x3x4

Стало быть,

------ ------ ------ 4∘a(1− b)+ 4∘ b(1− c)+∘4c(1 − a)=

(∘ ----------- ∘ ----------- ∘ ----------) √2 4 a(1− b)⋅ 1⋅ 1+ 4b(1− c)⋅ 1⋅ 1 + 4c(1 − a⋅ 1 ⋅ 1 ≤ 2 2 2 2 2 2

√-( a+ (1− b)+ 1+ 1 b+ (1 − c)+ 1+ 1 c+ (1 − a)+ 1+ 1) √- 2 ------4---2--2+ ------4---2--2+ -------4--2--2 = 322

Равенство достагиается при $a= b= c= 1 2$

Ответ:

$3√2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#91247Максимум баллов за задание: 7

Положительные числа $a,b,c$ удовлетворяют соотношению

-1-- -1-- -1-- 1+ a + 1+ b + 1+ c = 1.

Найдите наибольшее возможное значение выражения

a b c 2+-a2 + 2+-b2 + 2+-c2.

Источники: ДВИ - 2023, вариант 233, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала предлагаю предположить: при каких а, b и c будет достигаться максимум? Это предположение будет вам в дальнейшем ориентиром! А пока сделайте замену: х = 1/(1 + а), у = 1/(1 + b) и z = 1/(1 + c)

Подсказка 2

Выразите в новых переменных оцениваемое выражение, а что можно сказать про его первое слагаемое? Выделите из него целую часть и попробуйте оценить знаменатель и числитель остатка с учётом условия о положительности х.

Подсказка 3

Аналогично рассмотрите каждое из трёх слагаемых и сделайте вывод о сумме.

Показать ответ и решение

Пусть