Тема ДВИ в МГУ - задания по годам

ДВИ 2015

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела дви в мгу - задания по годам

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#64036

Решите уравнение

| 2 | logx|2x − 3|= 4log|2x2−3|x

Источники: ДВИ - 2015, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Достаточно много ограничений бросается сразу в глаза. Выписываем и замечаем, что логарифмы очень даже похожи, но все же разные. А можем ли сделать их одинаковыми?

Подсказка 2

Конечно! Стоит “перевернуть” один из них по соответствующему свойству (аргумент так удачно не может быть равен 1). А чему тогда должно быть равно значение этого логарифма из уравнения?

Подсказка 3

Получаем 2 уравнения с логарифмом и числом. Можем сразу действовать по определению и избавиться от логарифмов! А далее остается решить два знакомых уравнения и задачка убита.

Подсказка 4

От модулей можем избавиться рассмотрев отдельно соответствующие промежутки, а после этого интерес может вызвать только уравнение 4ой степени. А какие вообще степени в нем присутствуют? Как можем действовать с ними?

Подсказка 5

Конечно ввести замену x² = t! Теперь и у него нет шансов, т.к. относительно новой переменной уравнение стало квадратным!

Показать ответ и решение

Выпишем условия для определения ОДЗ. Основания обоих логарифмов и оба подлогарифмирумые выражения должны быть больше нуля, а также основания отличны от единицы. что дает нам:

2 2 x> 0, x⁄= 1, |2x − 3|> 0, |2x − 3|⁄= 1

Решив эти неравенства, находим, что

√ - ∘ 3- x> 0, x ⁄=1, x ⁄= 2, x⁄= 2

После замены $t= logx|2x2− 3|$ , получается уравнение

4 t =-t

t= ±2

$t= 2⇐ ⇒ |2x2− 3|= x2$ . Если $2x2− 3 ≥0$ , то $√- 2x2− 3= x2 ⇐⇒ x = ± 3$ . Из ОДЗ остаётся только $√ - x = 3$ . Иначе $2x2− 3< 0⇐= 2x2− 3= −x2 ⇐⇒ x =±1$ , оба решения не подойдут из ОДЗ.
$t= −2 ⇐⇒ |2x2− 3|= 1x2-$ . Будем действовать аналогично. Если $2x2− 3≥0$ , то $2x4 − 3x2− 1= 0$ или $√--√-- x =± -3+2-17$ , в ОДЗ подойдёт только положительное решение. Если $2x2− 3< 0$ , то $2x4− 3x2+ 1= 0$ или $x = ±1,± 1√2$ . Здесь останется только $x= √12$ .

Собирая все полученные ответы, получаем итоговый.

Ответ:

$1 ∘3-+√17-√- √2-;---2---; 3$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#80604

Василий выехал из пункта $A$ в пункт $B$ на велосипеде. Проехав треть пути, велосипед Василя сломался. Не теряя времени, Василий пошел пешком обратно в пункт $A$ . В момент поломки из пункта $A$ выехал мотоциклист Михаил. На каком расстоянии от пункта $A$ он встретит Василия, если расстояние между пунктами $A$ и $B$ $4$ км, скорости велосипедиста, мотоциклиста и пешехода постоянны, а Василий доберется до пункта $A$ тогда же, когда Михаил до пункта $B$ ?

Источники: ДВИ - 2015, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте построим график движения, будем рассматривать расстояние от пункта А относительно времени.

Подсказка 2

Строим графики движения обоих велосипедистов и далее вспоминаем про подобие треугольников!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Поскольку Григорий проехал втрое больше до пункта $B$ , чем Василий прошёл до $A$ , то его скорость втрое выше. Тогда на момент встречи он проехал $3 4$ расстояния между ними, откуда расстояние до пункта $A$ на момент встречи будет $1 3 3 ⋅4 ⋅4=1$ (км).

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Ломаная $AYV$ — график движения Василия, а отрезок $XU$ — график движения Михаила $UV =PT = AB =4$ .