ДВИ 2014

Уравнение можно рассматривать как квадратное относительно потребовать, чтобы его дискриминант был неотрицательным, откуда сразу же вытекает условие, что синус равен . Рассмотрим эквивалентный подход, чтобы показать, почему это справедливо:

Пусть для краткости . Ясно, что У нас есть уравнение Но так как то оба слагаемых в левой части неотрицательны. А их сумма должна быть равна нулю. Это равносильно условию, когда каждое слагаемое равно нулю:

С учётом получаем Итак, условие задачи эквивалентно системе уравнений:

то есть

Отсюда уже находим условия на :

Остаётся эти условия пересечь, совместив параметры и . Выразим :

Так как в правой части целое число, в левой может быть только и тогда

окончательно

В итоге ответ уже для любого целого

Замечание. Решить систему можно с помощью тригонометрической окружности, показав, что подходит только точка, соответствующая Но определять период всё равно придётся из уравнения.