Вступительные в МГУ 2010 и ранее
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точки 
и 
лежат на окружности радиуса 2 с центром 
, а точка 
на прямой, касающейся этой окружности в
точке 
, причем 
, а длины отрезков 
образуют возрастающую геометрическую прогрессию (в
указанном порядке). Найдите угол 
и расстояние между точками 
и 
Какой из углов больше: 
или
Источники:
Подсказка 1
Для начала разберёмся аккуратно с чертежом! Из условия мы сразу можем понять: какой из отрезков АК, ВК, СК больший, а какой – меньший. Попробуйте из этого установить, где мы имеем дело с секущей, а где – с касательной? Достройте точки пересечения проводимых прямых с окружностью – они нам пригодятся!
Подсказка 2
Как можно использовать данную нам прогрессию из длин? Может быть какие-то отрезочки удачно выражаются друг через друга?) А можно ли эти же отрезки связать друг с другом иначе – какие теоремы о касательных и секущих нам известны?
Подсказка 3
Итак, мы видим геометрическую прогрессию, попробуйте выразить ВК через два других отрезка. Свойство секущих, проведённых из одной точки, помогает нам увидеть на картине равнобедренный треугольник! Запишите сразу его уголочки :)
Подсказка 4
Симметрия поможет нам понять, на какой прямой лежит центр окружности. Один из искомых уголочков у нас в кармане!
Подсказка 5
Какая теорема хорошо ищет длины сторон в треугольнике при известном радиусе описанной окружности?) Найдите треугольник со стороной АС и примените её. Тригонометрии в ответе не стоит бояться :)
Подсказка 6
Обнаруженная ранее биссектриса, а также точное применение свойств вписанных и центральных углов поможет нам в ответе на последний вопрос задачи.
Сначала заметим, что 
и 
не могут быть касательными, поскольку их длина отличается от длины 
, тогда они обе секущие,
причём расположение точек именно такое, поскольку прогрессия возрастает.
По свойствам отрезков секущей
То есть 
— равнобедренный и в силу симметрии центр окружности лежит на его биссектрисе, откуда
Из той же равнобедренности
откуда по теореме синусов:
Наконец, в силу симметрии 
(имеются в виду дуги).
углы 
и 
равны.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
