Вступительные в МГУ 2010 и ранее
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана сфера радиуса 
с центром в точке 
Из точки 
лежащей вне сферы, проведены четыре луча. Первый луч
пересекает поверхность сферы последовательно в точках 
и 
второй — в точках 
и 
третий — в точках 
и
четвертый — в точках 
и 
Прямые 
и 
пересекаются в точке 
прямые 
и 
— в
точке 
Найдите объем пирамиды 
если 
а угол между гранями 
и 
равен
Источники:
Подсказка 1
Ох и непростая получилась картинка к задаче! Определимся что у нас есть и чего не хватает?) А известно нам на самом деле не так уж мало: 3 из 6-ти сторон искомой пирамиды и угол между её гранями. Было бы хорошо узнать ещё какие-нибудь его рёбра)
Подсказка 2
Найти EF при известных боковых других рёбрах будет не так уж сложно, пользуйся известным нам углом между гранями. Поэтому сосредоточимся для начала на АЕ и AF. Что нам здесь может помочь?
Подсказка 3
Мы знаем классное свойство секущих шара (очень-очень напоминающее свойство секущих в окружности!), его можно будет здесь применить, но как же связать эти секущие с АЕ?
Подсказка 4
Рассмотрим плоскость, построенную на пересекающихся ЕВ₁ и ЕС₁: в ней уже можно применить обсуждённое выше свойство, но для полноты картины нужна точка на АЕ – пусть это будет точка пересечения АЕ с окружностью, описанной вокруг АВ₁В₂. Попробуйте доказать, что через эту же точку пройдёт описанная окружность треугольника ЕС₂В₂
Подсказка 5
Работа со свойствами секущих в окружностях и в шаре поможет нам установить числовые значения АМ*AE и EM*EA – этого достаточно, чтобы найти длину квадрата АЕ
Подсказка 6
Аналогичные действия помогут нам выразить AF! Что теперь можно сказать про соседние грани нашего тетраэдра?
Подсказка 7
Перпендикуляры к общей стороне двух равных треугольников явно упадут в одну точку! В этой же плоскости (образованной двумя перпендикулярами) удобно провести высоту пирамиды. Нетрудные планиметрические рассуждения (высота треугольника, в котором известны все стороны и работа с прямоугольным треугольником с углом в 30°) добивают нашу задачу!
Рассмотрим сечение сферы плоскостью 
Пусть 
— вторая точка пересечения окружностей, описанных около треугольников
и 
Из цепочки равенств
следует, что точка 
лежит на отрезке 
По теореме о равенстве произведений отрезков секущих,
(здесь 
— радиус сферы). Точно так же 
Отсюда 
Аналогично получаем
Значит, грани 
и 
равны по трем сторонам и имеют площадь 
по формуле Герона(нам известны все три
стороны).
Давайте теперь найдём высоту грани 
Опустим перпендикуляр 
Посчитаем длину через подсчёт площади двумя
способами:
Откуда 
Рассмотрим теперь плоскость 
и опустим в ней высоту 
Тогда по теореме о трёх перпендикулярах 
будет перпендикулярно 
Тогда из условия понимаем, что 
так как это и будет угол между плоскостями. К тому же 
перпендикулярно всей плоскости 
так как он перпендикулярен двум прямым из этой плоскости. Но тогда 
перпендикулярно
и 
откуда 
— это перпендикуляр к плоскости. Тогда найдём 
и решим задачу. Из прямоугольного треугольника 
с
углом 
понимаем, что 
Отсюда объём пирамиды будет:
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
