Тема . Физтех - задания по годам

Физтех 2018

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела физтех - задания по годам

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#32378

Числа $x$ и $y$ таковы, что выполняются равенства

siny +cosx= sin3x и sin2y− sin2x= cos4x − cos2x.

Какое наименьшее значение может принимать сумма $cosy+ sinx$ ?

Источники: Физтех-2018, 11.4, (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Из второго равенства

sin2y = sin2x+ (cos4x− cos2x)= 2sinxcosx− 2sin3xsinx= 2sin x(cosx− sin 3x)

Подставим $cosx− sin3x$ в первое равенство из условия

2sin ycosy =sin2y =− 2sinxsiny ⇐⇒

[ siny =0 sinx +cosy = 0

Во втором случае искомое по условию выражение равно нулю. Посмотрим, будет ли оно меньше в первом случае.

В первом случае $y =πn,n ∈ℤ$ , и тогда из первого равенства

( ) cosx− sin3x= 0⇐⇒ cosx− cos π− 3x = 0⇐⇒ 2sin(π − x)sin(π − 2x)= 0 2 4 4

То есть $x= π+ πk,k∈ℤ 4$ или $x = π+ πk,k∈ℤ. 8 2$

Минимум суммы получаем при $cosy = −1 ⇐⇒ y = π+ 2πn,n∈ ℤ$ и $x= − 3π+ 2πk,k ∈ℤ. 8$

Посчитаем синус:

( ) ∘ --√-- cos 2⋅ 3π =cos3π =− 1√--=1 − 2sin2 3π =⇒ sin 3π-=-2+--2 8 4 2 8 8 2

Тогда искомое по условию выражение равно

∘2+-√2 cosy+ sinx =−1 − --2----

Получили значение меньше, чем во втором случае (меньше нуля), поэтому оно является ответом.

Ответ:

$− 2+√2+√2 2$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse