Физтех 2018

Первое решение.

Треугольники делятся на два типа

• Катеты параллельны осям. Тогда один из них соединяет точки с одинаковой абсциссой, а второй лежит на какой-то прямой. Выберем эту абсциссу способами, а затем прямую и саму точку способами (сначала прямую, а затем точку из оставшихся на ней). В итоге способов.
• Ни один из катетов не лежит на прямых, поэтому там лежит гипотенуза (ведь на какой-то прямой лежат две вершины треугольника), откуда высота к ней имеет длину . Она же является корнем из произведения проекций катетов, то есть их произведение равно — длины проекций являются натуральными числами, потому их значения могут быть только такими. Если это и , то, выбирая прямую, затем порядок двух различных отрезков проекций на прямой, а затем абсциссу высоты, получаем способа (поскольку мы не можем брать ближайших точек с одной стороны прямой, а с другой одну, чтобы наши проекции “влезли”). Если же это и , то сначала выбираем прямую, порядок выбирать не нужно, поскольку отрезки равны, а точку выберем способами, поскольку с каждой стороны прямой нельзя брать по точек. В итоге способа.

В качестве ответа имеем .

Второе решение.

Рассмотрим два возможных случая:

• Гипотенуза треугольника лежит на одной из прямых, а вершина прямого угла - на второй прямой. Пусть - данный треугольник с прямым углом при вершине - его высота, опущенная на гипотенузу. Из пропорциональности отрезков прямоугольного треугольника получаем, что , т.e. . Поскольку и - целые числа, то возможны следующие случаи: и и .

  В первом из этих случаев гипотенузу , равную 10, можно расположить способами (по способов расположения на каждой из двух данных прямых), при этом положение вершины определяется однозначно.

  Во втором и третьем случаях длина гипотенузы равна 26, и её можно расположить способами. Для каждого положения гипотенузы существует два способа размещения вершины - получаем способов.

• Один из катетов треугольника (назовём его ) перпендикулярен данным прямым, а второй катет лежит на одной из данных прямых. Тогда положение катета можно выбрать 200 способами. Для каждого варианта расположения катета вершину можно расположить 398 способами (подходят все точки кроме уже выбранных и ) - всего выходит способов.

Итого получаем способов.

Доказано, какие три вида прямоугольных треугольников возможны — 2 балла.

Если получено не более двух видов треугольников или разобраны все три случая, но не обосновано отсутствие других возможностей, то этот пункт оценивается в 0 баллов.

Произведён подсчёт количества треугольников одного вида — 1 балл.

Произведён подсчёт количества треугольников двух видов — 2 балла.

Произведён подсчёт количества треугольников трёх видов — 4 балла.

Ошибка в  при подсчёте количества треугольников — снять 1 балл от общей суммы.

Отсутствует умножение на два (т. е. считается, что гипотенуза и/или катет треугольника может лежать только на одной из двух данных прямых) — снять 2 балла от общей суммы.

Верный ответ в развёрнутой форме — баллы не снимаются.