Физтех 2018

Будем называть парной карточкой к данной такую карточку, что их сумма кратна , а видом карточки — её последние две цифры. Рассмотрим несколько случаев

• Номер на карточке кратен , то есть заканчивается на или . Карточек каждого вида ровно по , а парная карточка к каждой из них заканчивается на те же самые две цифры. То есть для обоих видов мы получим по способов взять две парные карточки с такими последними цифрами. Всего .
• Номер карточки заканчивается на , при этом он не больше . В силу второго ограничения таких карточек тоже по каждого вида. Легко видеть, что в пару им идут виды , по одному на каждый, то есть для каждой выбранной карточки подойдёт карточка парного вида. Итак, выбираем вид способами, затем его представителя и пару ему также , итого .
• Остались карточки с номерами . Для каждой из них есть по парной, то есть получаем способов.

Складывая по всем случаям, получаем способов.