Физтех 2018
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В выпуклом четырёхугольнике 
проведена диагональ 
и в каждый из полученных треугольников 
и 
вписана
окружность. Прямая, проходящая через вершину 
и центр одной из окружностей, пересекает сторону 
в точке 
При этом
и 
Аналогично, прямая, проходящая через вершину 
и центр второй окружности, пересекает сторону 
в точке
При этом 
и 
(b) Найдите длины сторон 
и 
если дополнительно известно, что данные окружности касаются друг друга.
Пункт а), подсказка 1
Так ли проста прямая, соединяющая центр вписанной окружности с вершиной треугольника?) Просят найти AB/CD, а какие вообще отношения с AB и CD можно записать?
Пункт а), подсказка 2
Прямые BM и DN это биссектрисы треугольников! Тогда стоит воспользоваться свойством биссектрисы, чтобы связать отношениями AB с CD
Пункт б), подсказка 1
Мы уже знаем отношение AB/CD, так что хочется попробовать как-то с помощью переменных выразить AB и CD, чтобы потом решить уравнение.
Пункт б), подсказка 2
На рисунке есть окружности и касательные, на что это может намекать?
Пункт б), подсказка 3
Отрезки касательных к окружности из одной точки равны! Так что мы можем все отрезки, в том числе и AB и CD, выразить через отрезки, выходящие из вершин B и D.
(a) Так как биссектриса треугольника делит его сторону пропорционально двум другим сторонам, то
Следовательно,
(b) Обозначим точки касания окружности, вписанной в треугольник 
с его сторонами 
через 
соответственно; точки касания окружности, вписанной в треугольник 
с его сторонами 
— через 
соответственно
(по условию точка касания со стороной 
общая).
Пусть 
Используя равенство отрезков касательной, проведённых к окружности из одной точки, получаем
соотношения
В пункте (а) было получено, что 
откуда 
Тогда
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
