Физтех 2017
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Четырёхугольник 
вписан в окружность радиуса 
. Лучи 
и 
пересекаются в точке 
, а лучи 
и 
пересекаются
в точке 
. Известно, что треугольники 
и 
подобны (вершины не обязательно указаны в соответствующем
порядке).
.
(b) Пусть дополнительно известно, что окружности, вписанные в треугольники 
и 
, касаются отрезка 
в точках 
и 
соответственно, причём 
(точка 
лежит между 
и 
). Найдите 
и площадь четырёхугольника
.
Источники:
Пункт а), подсказка 1
Заметим, что угол А у наших подобных треугольников общий. Что тогда можно сказать про другие углы этих треугольников?
Пункт а), подсказка 2
Ура! Мы использовали подобие, чтобы указать на равные углы! Но у нас два варианта… Как понять, что один не подходит?
Пункт а), подсказка 3
Да, угол ADP больше чем угол AQB. Значит, нам подходит только вариант равенства углов ABQ и ADP. Попробуйте, воспользовавшись вписанностью ABCD, понять, чему равен каждый из этих углов , и задача будет решена!
Пункт б), подсказка 1
Поскольку CK:KT:TA=6:1:7, то CT=TA, но ведь CA-диаметр из пункта а. Что это дает?
Пункт б), подсказка 2
Да, мы поняли, что угол DAC=45° (значит, мы нашли и площадь треугольника ADC). А также нашли длины отрезков CK,KT,TA. Воспользовавшись свойством равенства длин касательных из одной точки, попробуйте понять, как можно сделать картинку жёсткой. То есть какую одну переменную нужно ввести, чтобы картинка задавалась единственным образом?
Пункт б), подсказка 3
Да, радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, фиксирует картинку. Осталось понять, чему равен этот радиус. Как это сделать? Попробуйте выразить площадь треугольника ABC двумя разными способами через радиус.
(a) Подобие треугольников эквивалентно равенству всех их углов. Так как угол при вершине 
у треугольников общий, то есть два
варианта: либо 
либо 
Второй случай невозможен, так как 
внешний угол треугольника 
поэтому он равен сумме 
т.е. 
Тогда остаётся первый случай и
Но четырёхугольник 
вписан в окружность, а значит, 
откуда 
Следовательно, 
диаметр окружности, 
(b) Из предыдущего пункта получаем 
, то есть точка касания вписанной окружности является серединой стороны и
равнобедренный, откуда 
. Пусть 
— радиус вписанной окружности 
и 
— точки касания её
с катетами. Из условия 
и 
. При этом 
, запишем площадь 
двумя
способами
Поскольку 
, то 
и 
. Площадь равнобедренного 
равна 
,
откуда 
.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
