Физтех 2017
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Четырёхугольник 
вписан в окружность радиуса 
. Лучи 
и 
пересекаются в точке 
, а лучи 
и 
пересекаются
в точке 
. Известно, что треугольники 
и 
подобны (вершины не обязательно указаны в соответствующем
порядке).
.
(b) Пусть дополнительно известно, что окружности, вписанные в треугольники 
и 
, касаются отрезка 
в точках 
и 
соответственно, причём 
(точка 
лежит между 
и 
). Найдите 
и площадь четырёхугольника
.
Источники:
(a) Подобие треугольников эквивалентно равенству всех их углов. Так как угол при вершине 
у треугольников общий, то есть два
варианта: либо 
либо 
Второй случай невозможен, так как 
внешний угол треугольника 
поэтому он равен сумме 
т.е. 
Тогда остаётся первый случай и
Но четырёхугольник 
вписан в окружность, а значит, 
откуда 
Следовательно, 
диаметр окружности, 
(b) Из предыдущего пункта получаем 
, то есть точка касания вписанной окружности является серединой стороны и
равнобедренный, откуда 
. Пусть 
— радиус вписанной окружности 
и 
— точки касания её
с катетами. Из условия 
и 
. При этом 
, запишем площадь 
двумя
способами
Поскольку 
, то 
и 
. Площадь равнобедренного 
равна 
,
откуда 
.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
