Физтех 2016
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Рассматриваются всевозможные пятизначные числа, в которых цифры 
используются ровно по одному разу. Найдите среднее
арифметическое этих чисел.
Подсказка 1
Что мы имеем? На первое место можем поставить 4 из 5 цифр, на остальные все 5. Как-то несимметрично, да ещё и сумму нам считать надо. Как же нам побороть эту несимметричность?...
Подсказка 2
Например, давайте сначала забудем, что 0 в начале стоять не может и будем считать, что для первой цифры всё также 5 вариантов. Как в этом случае посчитать сумму всех чисел?
Подсказка 3
Их слишком много и складывать обычно тяжело, а вот в столбик очень даже получается, причём не по два, а все разом. Начнём с малого, какая сумма будет, если сложить все цифры у всех чисел в разряде единиц?
Подсказка 4
Сходу неочевидно, однако попробуйте считать по-умному. Посчитайте, сколько раз встречается в этой сумму цифра 1 или другая (неважно).
Подсказка 5
Напомним про красивое число 1*2*3*4 (оно вам пригодится). Самостоятельно осознайте, что каждое цифра в разряде единиц встречается 24 раза. Тогда сумма цифр в разряде единиц = (0 + 1 + 3 + 7 + 9)*24 = 20*24. Что же дальше?
Подсказка 6
Теперь с помощью этого знания посчитайте всю сумму. Не забывайте, что когда переходите к следующему разряду, все цифры стоит умножать на 10... Что в итоге?
Подсказка 7
Бинго! 1111*20*24. Осталось отдельно посчитать числа, где в начале 0 и вычесть из уже посчитанного. Уверены, вы справитесь! Успехов!
Сначала проигнорируем то, что 0 не может быть первым. Тогда для каждого разряда сумма различных цифр в нём 
,
при фиксированной цифре на любой позиции число способов поставить остальные — 
, откуда сумма таких чисел равна
. Затем поставим 0 на первое место, а остальные 4 цифры образуют 4-хзначное число, для всех вариантов которого аналогично
сумма будет 
. С учётом того, что всего чисел 
, имеем:
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
