Физтех 2015
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите количество натуральных чисел 
не превосходящих 
и таких, что 
делится нацело на 
.
Подсказка 1
Разность квадратов делится на составное число. Какие делимости на меньшие числа тогда можно рассмотреть?
Подсказка 2
Рассмотрим делимость на 89. (k-1)(k+1) делится на 89, что это может значить? Разберем случаи!
Подсказка 3
Ровно одна из скобок делится на 89. Пусть, например, k+1. Как тогда можно записаться k?
Подсказка 4
k = 89p + 88, p — целое. Отлично, с делимостью на 89 разобрались, но ведь нам нужна делимость на 445...
Подсказка 5
Получаем, что (89p + 87)(p+1) делится на 5. Тогда можно найти вид p ;) Аналогично нужно разобраться со случаем, когда на 89 делится другая скобка!
Первое решение.
Разложив делимое и делитель на множители, получаем условие 
. Значит, одно из чисел 
или 
делится на 89 . Рассмотрим два случая.
a) 
, т.е. 
. Тогда получаем 
. Первый множитель
делится на 5 при 
, а второй — при 
, откуда получаем, что 
.
б) 
, т.е. 
. Тогда получаем 
. Первый множитель делится на 5 при
, а второй — при 
, откуда получаем, что 
, 
.
Итак, условию задачи удовлетворяют числа, дающие остатки 
при делении на 445, то есть подходят каждые 4 из 445
подряд идущих чисел. Так как 
, получаем 
чисел.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Второе решение.
. 
. Числа 5 и 89 простые, поэтому существует 4 случая:
Для каждого такого случая существует ровно одно решение по модулю 
(по КТО), так как если бы существовала 
и 
для, например, третьего случая, то 
и значит, 
и делится на 445, то есть
.
Отсюда все числа от 1 до 445000 разбиваются на группы по 445 в каждой, из которых есть ровно 4 решения.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
