Физтех 2012

Пусть — данное шестизначное число. Обозначим пятизначное число через Тогда Таким образом, полученная разность делится на Из промежутка на делятся числа

Докажем, что эти числа могут быть получены в результате вычитания. Для этого надо доказать, что каждое из уравнений

имеет целочисленное решение, где — пятизначное число, а — однозначное число, не равное нулю. Для этого достаточно в каждом из уравнений подставить и убедиться, что получающееся значение является пятизначным целым числом.

Действительно, первому уравнению удовлетворяет пара второму — пара третьему — пара Значит, если в качестве исходных чисел взять то в результате перестановки и вычитания мы получим числа