Физтех до 2010 и вступительные на Физтех

Сложим уравнения системы и вынесем общие множители, получим

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пусть тогда подставим это во второе уравнение системы

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пусть тогда

Следовательно,

В итоге выражение, которое нужно минимизировать, примет вид

Исследуем его с помощью производной

Посмотрев на порядок смены знака производной с минуса на плюс при переходе через эту точку, можно сказать, что это точка минимума. В этой точке выражение равно

Проверим, что выражение не принимает значения меньше при Для этого выделим целую часть

Так как то тогда

То есть выражение не принимает значения, которые не больше 13, на промежутке

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пусть тогда исходная система примет вид

Видно, что система не имеет решений.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пусть тогда исходная система примет вид

Видно, что система равносильна уравнению

Тогда выражение примет вид

Наименьшее значение парабола с ветвями вверх принимает в вершине, в данном случае наименьшее значение достигается при и равно

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Так как то в итоге наименьшее значение выражения для заданной в условии системы равно 2, достигается оно при