Тема . Физтех - задания по годам

Физтех до 2010 и вступительные на Физтех

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела физтех - задания по годам
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#51011

В треугольнике ABC  медиана BM  = 2,  угол ABM  равен arctg 2,
    3  угол CBM  равен arctg 1.
    5  Найти стороны AB, BC  и биссектрису BE  треугольника ABC.

Источники: Физтех-2008, 11.4 (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

PIC

Обозначим ∠ABM  =α,  ∠CBM = β.  По теореме синусов из треугольников ABM  и CBM  находим --AB---  -AM
sin∠AMB  =sinα  и ---BC--   MC-
sin∠CMB  = sinβ.

Так как ∠AMB  +∠CMB  = π  и AM = MC,  то

                       AB   sinβ
sin∠AMB  =sin∠CMB   и   BC-= sinα-

В силу S△ABC = S△ABM + S△CBM  , имеем

AB ⋅BC ⋅sin(α+ β)= AB ⋅BM  ⋅sinα+ BC ⋅BM ⋅sinβ

По доказанному BC sinβ =AB sinα  , откуда

   ( sinα)
AB2  sinβ- sin(α +β)= 2AB ⋅BM  ⋅sinα,

т. e. AB = 2sBinM(αs+inββ) .  Тогда BC = 2BsiMn(αsi+nβα) .

В нашем случае α= arctg 23,β = arctg 15.  Тогда sin α= √213,cosα= √313,sinβ = 1√26,cosβ = √526  , sin(α+ β)= 1130√2 + 133√2 = √12.  Следовательно, AB = √4-,BC = 8√√2.
      13       13

Длину биссектрисы можно найти из применения теорем косинусов для △ABE  и △BCE  , а затем написав отношение полученных выражений

                (     )        √ - ∘ 1+-√1-  8∘2√2(1+-√2)
BE = 2⋅AB-⋅BC-cos α-+β- = √-2⋅4⋅8√2-  ----2-= -√------√---.
     AB + BC       2      13(4+ 8 2)    2       13(1+ 2 2)
Ответ:

 AB = √4-,BC = 8√√2,BE = 8√√2√2(1+√√2)
      13       13        13(1+2 2)

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!