Физтех до 2010 и вступительные на Физтех

На координатной плоскости Оху рассмотрим ломаную , задаваемую уравнением и параболу , задаваемую уравнением Ломаная пересекается с параболой в точках с абсциссами и и положительными ординатами. Прямая , задаваемая уравнением касается параболы в точке Найдем при которых точка касания и является точкой пересечения и , то есть удовлетворяет уравнению . Имеем: при и при

Разберём случаи

• При или прямая пересекает ломаную в двух различных точках, не лежащих на . Следовательно, в этом случае система имеет ровно три решения.
• При и прямая пересекает в двух различных точках, одна из которых является точкой касания и . Следовательно, в этом случае система имеет ровно два решения.

Далее найдём , при котором параллельна прямой, задаваемой уравнением . Получим т. е. .

Аналогично ищем , при котором параллельна прямой, задаваемой уравнением . Получаем , т. е. .

• При прямая пересекает ломаную в двух различных точках, не лежащих на П. Следовательно, в этом случае система имеет ровно три решения.
• При прямая пересекает в одной точке, не лежащей на П. Следовательно, в этом случае система имеет ровно два решения.
• При прямая не пересекается с Следовательно, в этом случае система имеет ровно одно решение.

Осталось собрать те случаи, когда решения ровно два, и написать ответ.