Физтех до 2010 и вступительные на Физтех
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти все значения параметра 
при которых сумма всех корней уравнения
меньше 
Подсказка 1
Давайте внимательно посмотрим на выражение, поищем общие части в слагаемых. На что похоже это уравнение?
Подсказка 2
На квадратное уравнение относительно y = (x - (9p)/4)². При этом, если мы начнём прямо считать его корни, у нас получатся достаточно громоздкие выражения. Для начала подумаем, а что в целом должно выполняться, чтобы у этого уравнения были корни?
Подсказка 3
Верно, дискриминант должен быть неотрицателен! Запишем его и поймём, при каких р у квадратного уравнения есть корни.
Подсказка 4
Пусть y₁ ≤ y₂ — корни этого квадратного уравнения. Чтобы от них перейти к корням исходного уравнения, нужно решить два других уравнения: (x - (9p)/4)² = y₁ и (x - (9p)/4)² = y₂. Но как теперь перейти к сумме корней? Вспомните, какая теорема связывает сумму корней квадратного уравнения и его коэффициенты.
Подсказка 5
Теорема Виета! Получается, если у уравнения (x - (9p)/4)² = y₁ есть корни, то их сумма равна 9р/2. Заметим, что y₁ * y₂ — это свободный коэффициент исходного квадратного уравнения, пусть он равен С. Осталось понять, какая сумма получается в зависимости от знаков y₁ и y₂, для этого будет удобно рассмотреть случаи: когда С больше нуля, меньше нуля, равно ему, а также когда зануляется дискриминант.
Пусть 
корни квадратного уравнения 
где 
Для того чтобы
данное биквадратное уравнение имело решения, необходимо, чтобы дискриминант 
был неотрицателен.
Имеем:
т. e. 
Рассмотрим четыре случая. 
первых трех 
- 1.
-
тогда 
т. е. уравнение 
не имеет корней, а уравнение 
имеет два
различных корня, сумма 
которых, согласно теореме Виета, равна 
р. Из неравенства 
где 
следует 
и, с учетом условия 
получаем 
- 2.
-
тогда 
или 
При 
уравнение имеет один корень 
и неравенство 
выполнено,
а при 
три корня с суммой 
меньшей 
.
- 3.
-
тогда 
и 
одного знака, причем 
если 
При этом уравнение имеет четыре корня с суммой
поэтому из неравенства 
следует 
и, с учетом условий 
получаем 
.
- 4.
-
тогда если 
то 
и уравнение корней не имеет, а если 
то 
и 
Замечание. Формально, в случае отсутствия корней уравнения (если дискриминант исходного уравнения меньше нуля) про элементы пустого множества решений будет верно любое высказывание, в том числе любая оценка на их сумму. Но авторы вступительных не задумывали грузить этим абитуриентов, предполагая проверку наличия корней.
![(−-7;0]∪[4;7) ∪[3;2)
10 3 5 2](/api/latex-service/v1/GetSession/95719/index-2479bd09b54991631c7b9c4d2e436ff6.svg)
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
