Физтех до 2010 и вступительные на Физтех

Так как центр вписанной в пирамиду сферы лежит на её высоте , то образует равные углы с плоскостями . Кроме того, из симметрии следует, что .

Проведём плоскость через перпендикулярно . Пусть эта плоскость пересекает в точке . Аналогично построим точки . Заметим, что треугольники равны, так как они прямоугольные, имеют общий катет , а углы равны, как углы между и плоскостями . Тогда и эти отрезки являются высотами боковых граней пирамиды. Из прямоугольного треугольника находим его высоту .

Рассмотрим треугольник . Пусть . Тогда по теореме косинусов

(1)

Так как и то

Полагая получаем уравнение

Откуда

Тогда из получаем . Так как , то является серединой а из равенства следует, что является высотой треугольника причём .

Пусть — радиус вписанной окружности треугольника .

Тогда . Из равенства

Тогда

Рассмотрим треугольник . Отразив точку симметрично получим точку . Пусть радиус сферы равен . Заметим, что он равен радиусу окружности, вписанной в треугольник . Тогда