Тема . Физтех - задания по годам

Физтех до 2010 и вступительные на Физтех

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела физтех - задания по годам
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#78852

Решить уравнение

sin 3x +|sinx|= sin2x

Источники: Вступительные в МФТИ - 1993 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так-с, видим модуль, поэтому первое, что стоит сделать - рассмотреть два случая!

Подсказка 2

Если синус положительный, то можно применить формулу суммы синусов! И дальше получится уравнение, которое решить уже не так и сложно! Теперь разберёмся, когда синус отрицательный!

Подсказка 3

Да, если синус отрицательный, то теперь просто применим формулу разности синусов! И также получим, несложное уравнения, для которого точно сможем найти совокупность решений!

Подсказка 4

И в каждом из случаев - не забывайте про ограничение на синус!

Показать ответ и решение

Рассмотрим два случая (1) sinx> 0,  (2) sinx ≤0

(1) При sin x> 0:

sin3x+ sinx= sin2x

2sin2xcosx= sin2x

sin2x(2cosx− 1)=0

откуда sin2x = 0,  либо 2cosx− 1= 0.  Отсюда получаем серии:

⌊     πn
| x = 2-,n ∈ℤ
||     π
||| x = 3 + 2πn,n ∈ℤ
⌈     5π
  x = 3-+ 2πn, n∈ ℤ

С учетом неравенства sinx≥ 0  получаем следующие ответы:

⌊    π
| x= 2 +2πn,n∈ ℤ
|⌈    π
  x= 3 +2πn, n ∈ℤ

(2) При sin x≤ 0:

sin3x− sinx= sin2x

2cos2x sinx= 2sinxcosx

sinx(cos2x− cosx)= 0

откуда sinx= 0,  либо cos2x− cosx = 0.  Отсюда получаем серии:

⌊ x= πn,n∈ ℤ
||    2πn
||⌈ x=  3  +2πn,n∈ ℤ
  x= 2πn, n ∈ℤ

Объединяя решения последней совокупности с учетом неравенства sin x≤ 0,  получаем следующие ответы:

⌊ x =πn,
⌈ x = 4π-+ 2πn, n∈ ℤ
      3

Объединяя ответы из (1) и (2) получаем следующие ответы:

⌊ x= πn,
|| x= π + 2πn,
||    2
⌈ x= π + πn, n∈ ℤ
     3
Ответ:

 πn, π + 2πn, π+ πn, n∈ ℤ
    2      3

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!