Физтех до 2010 и вступительные на Физтех

Перепишем исходную систему в виде

Будем рассматривать параметр как переменную. Построим в системе координат множество решений системы. Если некоторая точка плоскости с координатами принадлежит этому множеству то для исходной задачи это означает, что если параметр принимает значение то будет одним из решений системы. Нас просят найти все такие значения параметра при каждом из которых ровно одна из точек вида где принадлежит множеству решений изображенному на плоскости Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая имеет ровно одну точку пересечения с множеством

Построим на плоскости множества решений каждого из неравенств системы, а затем найдем пересечение этих множеств.

• Множеством решений первого неравенства являются точки, лежащие не выше параболы
• Множеством решений второго неравенства являются точки, лежащие не ниже параболы

Убедимся, что вершина параболы лежит выше параболы Ее координаты равны

Так как то вершина параболы действительно лежит выше параболы

Построим графики.

 
Множеством решений системы является пересечение внутренних областей парабол и включая границы.

Только горизонтальные прямые и будут иметь с ровно одну точку пересечения. При этом — касательная в вершине параболы а не прямая, проходящая через точку пересечения парабол.

Любая горизонтальная прямая ниже или выше не будет иметь пересечений с множеством

Прямые между и будут иметь больше одной точки пересечения с

Таким образом, исходная система имеет единственное решение при