Физтех до 2010 и вступительные на Физтех

Первое решение.

После сложения уравнений системы получим

Получаем, что система из условия равносильна

в силу линейной связи между одно решение должна иметь совокупность

Дискриминант первого уравнения равен у второго же он меньше: Поэтому наличие решений у второго уравнения сразу влечёт за собой наличие решений у первого уравнения. Значит, для единственности решения необходимо и достаточно равенства нулю первого дискриминанта (у второго уравнения при таком значении не будет корней):

Второе решение.

Заметим, что система симметрична относительно замены на . То есть если есть решение , то решением также будет пара — решений четное количество. Поэтому, чтобы решение было единственным, необходимо (но не достаточно), чтобы среди решений было

Для единственности решения этого квадратного уравнения его дискриминант должен быть равен нулю:

При таком значении параметра получаем систему

Вычитая, получаем

Единственное решение уравнения — это пара . Такая пара является решением системы, поэтому это единственное и такое подходит.