Высшая проба 2020
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точки 
и 
лежат соответственно на сторонах 
и 
квадрата 
Прямые 
и 
пересекают 
в точках 
и
соответственно, вторично пересекают описанную около квадрата окружность в точках 
и 
соответственно, а прямые 
и
пересекаются в точке 
Докажите, что 
тогда и только тогда, когда точки 
лежат на одной
окружности.
Источники:
Подсказка 1
Обратите внимание на четырёхугольник MNYX. Нужно про него что-то понять. Обратите внимание на его углы и дуги окружности, описанной около квадрата.
Подсказка 2
Нужно доказать, что четырёхугольник вписанный. Далее попробуйте сначала показать, что если M, N, P, Q лежат на одной окружности, то PQ || AH. Рассмотрите точку пересечения BY и PQ. Быть может, она лежит на какой-то окружности...
Подсказка 3
Для доказательства в обратную сторону стоит вспомнить теорему Паскаля и применить её к DCBYAX.
Сначала полезный факт: на одной окружности лежат точки 
, ведь
.png)
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Если точки 
лежат на одной окружности, то 
, то есть 
.
.png)
Пусть прямые 
и 
пересекаются в точке 
. Тогда, в силу параллельности прямых 
и 
, верно, что 
.
C другой стороны, 
, т.к. данные углы опираются на меньшую дугу 
в окружности, описанной около квадрата
.
Таким образом, 
, что влечёт вписанность четырехугольника 
, следовательно, 
, то
есть 
является основанием перепендикуляра из точки 
на 
.
.png)
Аналогично, 
— точка пересечения прямых 
и 
— является основанием перпендикуляра из точки 
на 
, а значит,
точки 
и 
совпадают и лежат на каждой из прямых 
и 
, следовательно, совпадают с точкой 
, что доказывает
.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Если 
, то по теореме Паскаля для шестиугольника 
точки пересечения противоположных сторон 
и 
,
и 
, 
и 
, соответственно точки 
лежат на одной прямой. Тогда точки 
лежат на окружности,
построенной на 
как на диаметре, следовательно, 
. Наконец, в силу того, что точки 
лежат на одной окружности, верно, что 
, то есть 
и точки 
лежат на одной
окружности.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
