Высшая проба 2015 и ранее
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все пары взаимно простых натуральных чисел 
и 
такие, что 
делится на 
Подсказка 1
Пусть m = 2а+3b. Тогда отсюда выражается, например, 2а, которое при возведении в квадрат превращается в 4а^2. А у нас в изначальном выражении есть 2а^2, значит таким образом мы сможем узнать что-то о соотношении b и m. Аналогично узнаем про число а и m.
Подсказка 2
Верно, и 15b^2 кратно m, и 10a^2. Используя понимание взаимной простоты чисел а и b мы должны осознать, какие простые делители есть у m.
Подсказка 3
Могут ли простые делители числа m входить в него больше, чем в первой степени? Получив ответ на этот вопрос, мы найдем единственно возможные варианты числа m = 2а+3b и проверим их, помня, что работаем с натуральными числами.
Заметим, что 
отсюда 
и 
Пусть 
содержит некоторый делитель 
который взаимно прост с 
и 
— тогда на это число должны делиться 
и 
что
невозможно, поскольку 
Отсюда 
делится только на 
(из простых чисел). Если какое-то простое число 
входит
в него большей степени 
то 
делит 
и 
значит, степень каждого простого не больше первой. То есть 
может
принимать значения 
Первые три невозможны, пятёрка даёт нам 
что подходит. Пятый случай также
невозможен, в шестом 
условие взаимной простоты не выполнено. Для 
есть случаи 
и 
нам
подойдёт только второй. Для 
получаем 
— подойдут первый и третий случаи. Остаётся выписать
ответ.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
