Высшая проба 2015 и ранее
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все пары взаимно простых натуральных чисел 
и 
такие, что 
делится на 
.
Подсказка 1
Давайте найдём какое-нибудь выражение, которое точно делится на (a + 3b) и может быть нам полезно в данной задаче. Нам отлично подойдёт a² + 3ab. И правда! Выражение a² + 3b² - a² - 3ab легко сворачивается в 3b(b - a), а также оно должно делиться на (a + 3b).
Подсказка 2
С помощью алгоритма Евклида легко доказать, что (b, a+3b) = 1 ≥ 3*(b - a) делится на (a + 3b). Теперь необходимо сравнить между собой a и b и рассмотреть разные случаи
Подсказка 3
Если a = b, то с учётом взаимной простоты двух чисел, этот случай очевиден. Если же b > a, то решений также не будет по понятным причинам. Остаётся единственный содержательный случай — a > b.
Заметим, что 
делится на 
тогда
(добавили и вычли 
) делится на 
так как 
тогда 
то есть 
делится на 
Если 
то
при этом они все больше 
откуда следует противоречие.
Если 
то это может быть только при 
иначе 
Если 
то так как 
делится на 
то 
где 
иначе будет противоречие.
случая.
(a) Если 
тогда 
то есть 
Если 
то возникает противоречие с взаимной простотой, значит,
(b) Если 
тогда 
Если 
то возникает противоречие с взаимной простотой, значит, 
Итого получили следующие пары 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
