Высшая проба 2015 и ранее

Подсказка 1

Рассмотрим, например, p - a₁. Выделим из него максимальную степень тройки. То есть представим в виде p - a₁ = k₁b₁, где k₁ — степень тройки, а b₁ не делится на 3. Если так сделать для всех i, то получится, что нужно разделить произведение степеней тройки и каких-то чисел b₁b₂..., не делящихся на 3, на произведение чисел, не делящихся на 3, |a₁a₂...|. Если доказать, что эти произведения равны, то все получится. Как можно это сделать?

Подсказка 2

Чисел b₁... столько же, сколько чисел a₁... Попробуем доказать, что на самом деле они равны. Для этого сначала исследуем числа |a₁|... Можно ли доказать, что они различны?

Подсказка 3

Верно! Они не равны, поскольку тогда мы бы получили, что какие-то два из них противоположны, что означало бы, что 2p делится на 3, что по условию неверно. А можно ли теперь доказать, что |a₁|... — на самом деле и есть все числа в интервале (0;p/2), не делящиеся на 3.

Подсказка 4

Верно! Если возьмем число t, не делящееся на 3 в промежутке (0;p/2), то либо t, либо -t совпадает с p по модулю 3. А, если вспомнить определение чисел a₁..., то получится, что t или -t с одним из них совпадает. А тогда и получится нужное утверждение. А можно ли теперь и про числа b₁... доказать то же самое?

Подсказка 5

Легко проверить, что все b₁... лежат в интервале (0;p/2). А можно ли теперь проверить, что все они различны?

Подсказка 6

Предположим, что какие-нибудь два из этих чисел совпали и обозначим их e и f, а соответствующие им числа из a₁, ... g и h. Как мы знаем, g и h различны. Тогда что можно сказать о величине (p - g)/(p - h)?

Подсказка 7

Верно! Мы предположили, что e = f, а поскольку g и h различны, можно считать, что p - g > p - h. Тогда это отношение не меньше трех. С другой стороны, поскольку g и h — числа из промежутка (-p/2;p/2) получаем, что это отношение строго меньше трех. Тогда все числа b₁... различны. Как теперь доказать, что эти числа являются ровно теми числами, которые не делятся на 3 из промежутка (0; p/2)?

Подсказка 8

Возьмем некоторое t, не делящееся на 3, из промежутка (0;p/2). Тогда можно указать такую степень тройки k, что p - kt тоже число из промежутка (0;p/2), при этом p - kt имеет тот же остаток, что и p при делении на 3. Какой вывод можно сделать?

Подсказка 9

Верно! Тогда p - kt является одним из чисел a₁... Тогда и t является одним из чисел b₁. Как теперь доказать, что значение искомого выражения является степенью тройки?