Турнир городов 2015 и ранее
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Боковые стороны 
и 
трапеции 
являются соответственно хордами окружностей 
и 
касающихся друг друга
внешним образом. Градусные меры касающихся дуг 
и 
равны 
и 
Окружности 
и 
также имеют хорды 
и 
соответственно. Их дуги 
и 
расположенные с той же стороны от хорд, что соответствующие дуги первых двух окружностей,
имеют градусные меры 
и 
Докажите, что 
и 
тоже касаются.
Источники:
Подсказка 1
Давайте проведем конструктивное доказательство и явно покажем, как задаются окружности ω₃ и ω₄. Проще всего это сделать, если явно указать преобразование, сохраняющее касание, которое перевело бы ω₁ в ω₃, ω₂ в ω₄. Что может являться данным преобразованием?
Подсказка 2
Когда дело доходит до сохранения касания при преобразовании, в первую очередь стоит думать об инверсии и аффинных преобразованиях. Если мы хотим перевести ω₁ в ω₃, то было бы проще перевести точку A в C, B в D. Для этого чаще всего используется композиции инверсии в центре точке O — пересечения точек AB и CD - и симметрии относительно биссектрисы угла AOC. Какой коэффициент должен быть у данной инверсии?
Подсказка 3
Коэффициент √(OA ⋅OC) = √(OB ⋅OD). Обоснуйте, что образы окружностей ω₁ и ω₂ являются окружностями ω₃ и ω₄.
Пусть 
— точка пересечения прямых 
и 
— точка касания окружностей 
и 
Рассмотрим композицию инверсии с
центром в точке 
радиусом
и симметрии относительно внутренней биссектрисы угла 
Данное преобразование меняет пары точек 
и 
и 
Пусть 
— образ точки 
тогда окружности 
и 
касаются, т.к. являются образом окружностей 
и 
Осталось заметить, что 
следовательно, 
совпадает с 
аналогично, 
совпадает с
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
