Турнир городов 2015 и ранее

Подсказка 1

Мы знаем, что все члены нашей прогрессии – натуральные числа, что в этом случае мы можем сказать о знаменателе прогрессии (обозначим его q)? Какому множеству чисел принадлежит q?

Подсказка 2

Хочется сказать, что q – тоже натуральное число, но не забывайте о том, что при умножении натурального числа на рациональное тоже может получиться натуральное число, так что в общем случае q = p/r, где p и r – взаимно простые натуральные числа (ясно, что q > 0, иначе не все члены прогрессии были бы натуральными, так что р и r обязательно должны быть одного знака, без ограничений общности будем считать их положительными)

Подсказка 3

Теперь посмотрим на первый (b₁) и последний (b₃₇) члены нашей прогрессии, пользуясь фактом об их взаимной простоте, можем ли мы сказать, чему равен b₁?

Подсказка 4

Так как b₃₇ = b₁p³⁶/r³⁶ – натуральное число, а р и r взаимно просты, очевидно, что b₁ должно делиться на r³⁶, то есть b₁ = kr³⁶, а чему может быть равно k?

Подсказка 5

У нас получилось, что b₃₇ = b₁p³⁶/r³⁶ = kp³⁶, но тогда b₃₇ и b₁ имеют общий делитель k, чтобы выполнялось условие задачи, необходимо положить k = 1, теперь мы можем записать 19 член нашей прогрессии через р и r и получить желаемое!