Турнир городов 2015 и ранее
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В остроугольном треугольнике 
на высоте 
выбрана произвольная точка 
Точки 
и 
– середины сторон 
и 
соответственно. Перпендикуляр, опущенный из 
на 
пересекается с перпендикуляром, опущенным из 
на 
в точке 
Докажите, что точка 
равноудалена от точек 
и 
Подсказка 1
Обозначим через R и Q основания перпендикуляров, опущенных из M и N. Попробуйте переформулировать условие задачи.
Подсказка 2
Например, можно доказать, что точка P будет лежать на серединном перпендикуляре к AC.
Подсказка 3
Есть ли теорема, которая может нам в этом помочь?
Подсказка 4
Вспомните о теореме Карно.
Подсказка 5
Её можно применить для треугольника AXC, но должно выполняться CP² + XR² = XQ² + AR². Как бы нам это доказать?...
Подсказка 6
Может, надо записать теорему Пифагора для каких-то треугольников?
Обозначим через 
и 
основания перпендикуляров, опущенных из 
и 
Достаточно показать, что 
тогда по теореме Карно для треугольника 
точка 
будет лежать на серединном перпендикуляре к 
что равносильно
требуемому. Выразим квадраты из равенства с помощью теоремы Пифагора для треугольников 
и
:
Приведём подобные:
Домножим равенство на 
запишем 
как 
как 
а квадраты 
и 
распишем с помощью формулы
медианы для треугольников 
и 
Приведём подобные и поделим на 
Это равенство верно, поскольку
получили требуемое.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
